Distribution de Bernoulli

Distribution de Bernoulli: Loi de Bernoulli

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Bernoulli.

Bernoulli
Densité de probabilité / Fonction de masse

Fonction de répartition

Paramètres $p>0\,$ (nombre réel)
$q\equiv 1-p\,$

Support $k=\{0,1\}\,$

Densité de probabilité (fonction de masse) $\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$

Fonction de répartition $\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$

Espérance $p\,$

Médiane (centre) non disponible

Mode $\textrm{max}(p,q)\,$

Variance $pq\,$

Asymétrie (statistique) $\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$

Kurtosis (non-normalisé) $\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$

Entropie $-q\ln(q)-p\ln(p)\,$

Fonction génératrice des moments $q+pe^t\,$

Fonction caractéristique $q+pe^{it}\,$

En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la probabilité p et 0 avec la probabilité $q = 1 - p$ .
$f(x) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {si }x=1, \\ 1-p & \mbox {si }x=0, \\ 0 & \mbox {sinon.}\end{matrix}\right.$
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p et la variance vaut $p q = p (1 - p)$ .

Le Kurtosis tend vers l'infini pour des valeurs hautes et basses de p, mais pour $p = 1 / 2$ la distribution de Bernoulli a un kurtosis plus bas que toute autre distribution, c’est-à-dire 1.

Variable de Bernoulli

Une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli est appelée variable de Bernoulli.

La loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli de la manière suivante : 1 pour "succès", 0 pour "échec", ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une épreuve de Bernoulli.

Plus généralement, toute application mesurable à valeur dans {0,1} est une variable de Bernoulli. Autrement dit, toute fonction indicatrice mesurable suit la loi de Bernoulli. Réciproquement, pour toute variable de Bernoulli X définie sur (Ω,A,P), on peut trouver un ensemble mesurable B tel que X et la fonction indicatrice de B soient presque sûrement égaux : toute variable de Bernoulli est presque sûrement égale à une fonction indicatrice.

Classiquement, écrire une variable aléatoire N, comptant un nombre d'évènements dans une situation donnée, comme la somme d'une famille de variables de Bernoulli permet de calculer simplement l'espérance de N, comme étant la somme des paramètres de ces variables de Bernoulli:
$\left\{N=\sum_{i\in I} X_i\right\}\quad\Rightarrow\quad\left\{\mathbb{E}[N]=\sum_{i\in I} \mathbb{P}(X_i=1)\right\}.$
Cette méthode simplifie aussi le calcul de la variance de N, dans certains cas.

Distributions liées

Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables aléatoires de Bernoulli avec paramètre $p$ , indépendantes et identiquement distribuées, alors leur somme N suit la Loi binomiale :

$N = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)$

Voir aussi

Épreuve de Bernoulli

Articles de mathématiques en rapport avec les probabilités ou les statistiques

Statistiques descriptives • Analyse des données • Visualisation des données • Estimateurs • Tests statistiques • Séries temporelles et économétrie • Statistique Mathématique • Théorie des probabilités • Variables aléatoires • Inégalités • Théorèmes limites • Processus stochastiques • La mécanique statistique • Les statistiques et l'économie • Les statistiques et la sociologie • Les statistiques et les sciences • Les probabilités et les jeux • Les équations aux dérivées partielles et les probabilités

Portail des probabilités et des statistiques

Ce document provient de « Loi de Bernoulli ».

Catégorie : Loi de probabilité

**Bernoulli**
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$p>0\,$ (nombre réel) $q\equiv 1-p\,$
Support	$k=\{0,1\}\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} q & \mbox{pour }k=0 \\p~~ & \mbox{pour }k=1 \end{matrix}$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<0 \\q & \mbox{pour }0<k<1\\1 & \mbox{pour }k>1 \end{matrix}$
Espérance	$p\,$
Médiane (centre)	non disponible
Mode	$\textrm{max}(p,q)\,$
Variance	$pq\,$
Asymétrie (statistique)	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{3p^2-3p+1}{pq}\,$
Entropie	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Fonction génératrice des moments	$q+pe^t\,$
Fonction caractéristique	$q+pe^{it}\,$

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Distribution de Bernoulli de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Bernoulli distribution — Probability distribution name =Bernoulli type =mass pdf cdf parameters =1>p>0, pinR support =k={0,1}, pdf = egin{matrix} q=(1 p) mbox{for }k=0 p mbox{for }k=1 end{matrix} cdf = egin{matrix} 0 mbox{for }k … Wikipedia
Bernoulli — Famille Bernoulli Les Bernoulli qui se sont illustrés dans les mathématiques et la physique, sont issus de Nicolas Bernoulli (1623 1708), descendant d une famille ayant émigré d Anvers à Bâle à la fin du XVIe siècle. Les représentants les… … Wikipédia en Français
Bernoulli — can refer to: *any one or more of the Bernoulli family of Swiss mathematicians in the eighteenth century, including: ** Daniel Bernoulli (1700–1782), developer of Bernoulli s principle ** Jakob Bernoulli (1654–1705), also known as Jean or Jacques … Wikipedia
Distribution de Lévy — Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition … Wikipédia en Français
Bernoulli process — In probability and statistics, a Bernoulli processis a discrete time stochastic process consisting ofa sequence of independent random variables taking values over two symbols. Prosaically, a Bernoulli process is coin flipping, possibly with an… … Wikipedia
Bernoulli's principle — This article is about Bernoulli s principle and Bernoulli s equation in fluid dynamics. For Bernoulli s Theorem (probability), see Law of large numbers. For an unrelated topic in ordinary differential equations, see Bernoulli differential… … Wikipedia
Distribution (statistique) — Loi de probabilité Une loi de probabilité ou distribution de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d apparition des résultats d un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XXe siècle, on a largement … Wikipédia en Français
Distribution de probabilité — Loi de probabilité Une loi de probabilité ou distribution de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d apparition des résultats d un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XXe siècle, on a largement … Wikipédia en Français
Distribution de probabilités — Loi de probabilité Une loi de probabilité ou distribution de probabilité a commencé par décrire les répartitions typiques des fréquences d apparition des résultats d un phénomène aléatoire. Dans le dernier quart du XXe siècle, on a largement … Wikipédia en Français
Bernoulli number — In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers with deep connections to number theory. They are closely related to the values of the Riemann zeta function at negative integers. There are several conventions for… … Wikipedia

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Distribution de Bernoulli

Loi de Bernoulli

Variable de Bernoulli

Distributions liées

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Distribution de Bernoulli

Loi de Bernoulli

Variable de Bernoulli

Distributions liées

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link