Fonction de Liouville

Fonction de Liouville

La fonction de Liouville, notée λ(n) et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction importante de la théorie des nombres.

Si n est un entier positif, alors λ(n) est définie par :

\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}\,\! ,

où Ω(n) est le nombre de diviseurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité. (SIDN A008836).

λ est complètement multiplicative car Ω(n) est additive. Nous avons Ω(1)=0 et par conséquent λ(1)=1. La fonction de Liouville satisfait l'identité :

\Sigma_{(d|n)}\lambda(d)=1\,\! si n est un carré parfait, et :
\Sigma_{(d|n)}\lambda(d)=0\,\! sinon.

Séries

La série de Dirichlet pour la fonction de Liouville est reliée à la fonction zêta de Riemann par la formule

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}

La série de Lambert pour la fonction de Liouville est

\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right)

où \vartheta_3(q) est une fonction thêta de Jacobi.

Conjectures

Pólya a conjecturé que L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0 pour n > 1. Ceci fut réfuté par Minoru Tanaka, n = 906 150 257 étant le plus petit contre-exemple [1]. On ignore s'il existe un nombre infini d'entiers n pour lesquels L(n) est positif.

Autre conjecture (parfois attribuée mais à tort à Pál Turán) : si on définit M(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k}, alors il semblait plausible que M(n) > 0 pour n suffisamment grand, ce qui a été réfuté en 1958 par Colin Brian Haselgrove (en)[2]. Cette propriété, si elle avait été vraie, aurait confirmé, comme l'avait démontré Pál Turán, la véracité de l'hypothèse de Riemann, qui joue un rôle fondamental en théorie des nombres.

Notes

  1. ↑ Ceci constitue l'un des plus remarquables exemples d'induction erronée ou généralisation hâtive (en).
  2. ↑ (en) C. B. Haselgrove, « A disproof of a conjecture of Polya », dans Mathematika, vol. 5, 1958, p. 141–145 

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