Serie de Lambert

Serie de Lambert

Série de Lambert

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Lambert.

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Johann Heinrich Lambert, est une série prenant la forme

S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}\,

Elle peut être reprise formellement en développant le dénominateur :

S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de {a_n}\, avec la fonction constante 1(n)=1\,:

b_m = (a*1)(m) = \sum_{n|m} a_n\,

Puisque cette dernière somme est une somme typique de la théorie des nombres, presque toute fonction multiplicative sera exactement sommable en utilisant une série de Lambert. Ainsi, par exemple, on a

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_0(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^n}{1-q^n}

où \sigma_0(n)=d(n)\, est le nombre de diviseurs positifs du nombre n\,.

Pour les fonctions sigma d'ordre plus élevé, on a

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_\alpha(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^\alpha q^n}{1-q^n}

où \alpha\, est un nombre complexe et

\sigma_\alpha(n) = (\textrm{Id}_\alpha*1)(n) = \sum_{d|n} d^\alpha\,

est la fonction diviseur.

Les séries de Lambert dans lesquelles les a_n\, sont des fonctions trigonométriques, par exemple, a_n=\sin(2n x)\,, peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions théta de Jacobi.

Articles connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « S%C3%A9rie de Lambert ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Serie de Lambert de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Série de lambert — Pour les articles homonymes, voir Lambert. En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l honneur du mathématicien français Johann Heinrich Lambert, est une série prenant la forme Elle peut être reprise formellement en développant le… …   Wikipédia en Français

  • Serie de Lambert — En matemática, una serie de Lambert series, llamada así en honor a Johann Heinrich Lambert, es una serie que toma la forma Esta puede ser expresada formalmente mediante la expansión del denominador: donde los coeficientes de esta nueva serie… …   Wikipedia Español

  • Série de Lambert — Pour les articles homonymes, voir Lambert. En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l honneur du mathématicien français Johann Heinrich Lambert, est une série prenant la forme Elle peut être reprise formellement en développant le… …   Wikipédia en Français

  • Serie d'Eisenstein — Série d Eisenstein En mathématiques, les séries d Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s écrire explicitement. Sommaire 1 Séries d Eisenstein du groupe modulaire 2 Relations de récurrence …   Wikipédia en Français

  • Lambert — Contenido 1 Personajes 2 Geografía 3 Física y matemáticas 4 Otros …   Wikipedia Español

  • Lambert — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Pour les articles homonymes, voir Saint Lambert. Lambert est un nom propre qui peut désigner : Sommaire …   Wikipédia en Français

  • Série d'Eisenstein — En mathématiques, les séries d Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s écrire explicitement. Sommaire 1 Séries d Eisenstein du groupe modulaire 2 Relations de récurrence 3 Séries de… …   Wikipédia en Français

  • Lambert Beauduin — est un moine bénédictin belge (1873 1960), considéré comme l initiateur du mouvement liturgique, qui a abouti à la réforme liturgique du concile Vatican II. Il fut aussi pionnier de la démarche œcuménique dans l’Église catholique romaine par la… …   Wikipédia en Français

  • Lambert the Sheepish Lion — Lambert le lion peureux Lambert le lion peureux est un court métrage d animation réalisé par Jack Hannah pour les studios Disney, sorti au cinéma le 8 février 1952[1]. Il est considéré comme une Silly Symphony non officielle. Sommaire 1 Synopsis …   Wikipédia en Français

  • Lambert & Stahl — war eine Architektensozietät in Stuttgart, die von dem Schweizer Architekten André Lambert und dem deutschen Architekten Eduard Stahl 1883 gegründet wurde und bis 1912 bestand[1]. Das Architekturbüro plante und realisierte Bauten in Deutschland… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”