Fonction de Liapounov

Fonction de Liapounov

Une fonction de Liapounov est une fonction qui permet d'estimer la stabilité d'une solution d'une équation différentielle.

Sommaire

Position du problème

Soit

f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
\dot{y} = f(y) \,

un système dynamique et \displaystyle y^* un point d'équilibre de ce système : \displaystyle f(y^*) = 0. Par un changement de variable \displaystyle x := y - y^*, on peut se ramener au cas où l'origine 0 est un point d'équilibre (f(0) = 0).

Définition

Une fonction V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} est une fonction candidate de Liapounov si

  • \displaystyle V(0) = 0
  • \forall x \in U - \{0\}, \, V(x) > 0

pour un certain voisinage U de l'origine.

La dérivée de la fonction V par rapport au temps est alors

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x).

Si une fonction candidate de Liapounov V vérifie

\forall x \in W - \{0\}, \ \dot{V}(x) \leq 0

pour un certain voisinage W de l'origine, on dit que V est une fonction de Liapounov.

Théorème

S'il existe une fonction de Liapounov pour le système dynamique considéré, alors l'origine 0 est un équilibre stable de ce système.

Bibliographie

  • Lyapunov Function sur MathWorld
  • Khalil, H.K., Nonlinear systems, Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996 
  • Equations différentielles, Jean-Marie Arnaudiès, Editions Ellipses, Paris, 2000, ISBN 2-7298-0045-X.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de Liapounov de Wikipédia en français (auteurs)

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