Fonction de Liapounov
- Fonction de Liapounov
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Une fonction de Liapounov est une fonction qui permet d'estimer la stabilité d'une solution d'une équation différentielle.
Position du problème
Soit


un système dynamique et
un point d'équilibre de ce système :
. Par un changement de variable
, on peut se ramener au cas où l'origine 0 est un point d'équilibre (f(0) = 0).
Définition
Une fonction
est une fonction candidate de Liapounov si

0" border="0">
pour un certain voisinage U de l'origine.
La dérivée de la fonction V par rapport au temps est alors

Si une fonction candidate de Liapounov V vérifie

pour un certain voisinage W de l'origine, on dit que V est une fonction de Liapounov.
Théorème
S'il existe une fonction de Liapounov pour le système dynamique considéré, alors l'origine 0 est un équilibre stable de ce système.
Bibliographie
- Lyapunov Function sur MathWorld
- Khalil, H.K., Nonlinear systems, Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996
- Equations différentielles, Jean-Marie Arnaudiès, Editions Ellipses, Paris, 2000, ISBN 2-7298-0045-X.
Voir aussi
Wikimedia Foundation.
2010.
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