Fonction de liouville

Fonction de Liouville

La fonction de Liouville, notée λ(n) et nommée ainsi en l'honneur du mathématicien français Joseph Liouville, est une fonction importante de la théorie des nombres.

Si n est un entier positif, alors λ(n) est définie par :

$\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}\,\!$ ,

où Ω(n) est le nombre de diviseurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité. (SIDN A008836).

λ est complètement multiplicative car Ω(n) est additive. Nous avons Ω(1)=0 et par conséquent λ(1)=1. La fonction de Liouville satisfait l'identité :

$\Sigma_{(d|n)}\lambda(d)=1\,\!$ si n est un carré parfait, et :

$\Sigma_{(d|n)}\lambda(d)=0\,\!$ sinon.

Séries

La série de Dirichlet pour la fonction de Liouville est reliée à la fonction Zeta de Riemann par la formule

$\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}$

La série de Lambert pour la fonction de Liouville est

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = \sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = \frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right)$

où $\vartheta_3(q)$ est une fonction theta de Jacobi.

Conjectures

Pólya a conjecturé que $L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(k) \leq 0$ pour n>1. Ceci fut réfuté par Minoru Tanaka, n=906 150 257 étant le plus petit contre-exemple. On ignore si L(n) change de signe infiniment souvent.

Si on définit $M(n) = \sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}{k}$ , alors il semblait possible que $M (n) > 0$ pour n suffisamment grand, ce qui a été réfuté en 1958 par Haselgrove. Paul Turán avait montré que cette propriété implique l'hypothèse de Riemann.

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Catégorie : Fonction arithmétique

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