Ensemble parfait

Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à l'ensemble de ses points d'accumulation.

Exemples

Dans \mathbb R, un segment [a,b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor \{0,1\}^\N. Plus généralement, l'espace produit {0,1}I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est donné par l'ensemble \{ \sum_{n \in E} a_n, E \subset \mathbb N\} où \sum a_n est une série absolument convergente de complexes telle que, pour tout N,

∑ | an | < | aN |
n > N

.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si P0 est une partie fermée de \mathbb R ou de \mathbb R^n, on définit le dérivéP' = P1 de P0 comme l'ensemble des points d'accumulation de P0. Pour tout ordinal α, on pose Pα + 1 = (Pα)', et, si α est un ordinal limite, P^{\alpha} = \cap_{\beta<\alpha} P^{\beta}. Si Ω désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que[3] :

  • Ou bien P^{\Omega} = \varnothing. On dit que P0 est réductible.
  • Ou bien PΩ \neq \varnothing et dans ce cas, c'est un ensemble parfait. P0 est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés

Un ensemble parfait non vide de \mathbb R n'est pas dénombrable[4].

Toute partie fermée de \mathbb R (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson (en).

Notes et références

  1. ↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars (1905), rééd. Jacques Gabay (1995), p.54-57
  2. ↑ Jean-Marie Arnaudiès, L'intégrale de Lebsegue sur la droite, Vuibert (1997), p18-20.
  3. ↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars (1905), rééd. Jacques Gabay (1995), p.64-68
  4. ↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars (1905), rééd. Jacques Gabay (1995), p.61

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensemble parfait de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Ensemble Parfait — Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à l ensemble de ses points d accumulation. Exemples Dans , un segment [a,b] est un exemple trivial d ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Avec un ensemble parfait — ● Avec un ensemble parfait se dit lorsque plusieurs personnes commettent quelque chose visiblement d un commun accord ou avec une coïncidence étonnante …   Encyclopédie Universelle

  • parfait — parfait, aite [ parfɛ, ɛt ] adj. et n. • XIIe; parfit XIe; perfectus Xe; p. p. du v. parfaire, d apr. lat. perfectus I ♦ Qui est au plus haut, dans l échelle des valeurs. 1 ♦ Tel qu on ne puisse rien concevoir de meilleur. ⇒ …   Encyclopédie Universelle

  • Ensemble De Cantor — En mathématiques, l ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Il s agit d un ensemble fermé du segment… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble de cantor — En mathématiques, l ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Il s agit d un ensemble fermé du segment… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble triadique de Cantor — Ensemble de Cantor En mathématiques, l ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Il s agit d un ensemble …   Wikipédia en Français

  • ensemble — 1. ensemble [ ɑ̃sɑ̃bl ] adv. • fin XIe; lat. pop. insimul 1 ♦ L un avec l autre, les uns avec les autres. ⇒ collectivement, conjointement; co , con , syn (cf. En commun, de concert, de conserve). Plusieurs personnes ensemble. ⇒ réuni. Venez tous… …   Encyclopédie Universelle

  • Parfait — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Parfait est un nom propre ou plus souvent un adjectif ou un nom commun qui peut désigner : Adjectif une qualité de perfection, en quoi il n y a rien… …   Wikipédia en Français

  • Ensemble de Cantor — En mathématiques, l ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor[1]. Il s agit d un sous ensemble fermé de l …   Wikipédia en Français

  • Ensemble réel — Nombre réel Les nombres réels (dont l ensemble est noté ℝ) peuvent très informellement être conçus en mathématiques comme tous les nombres associés à des longueurs ou des grandeurs physiques. Ce sont les nombres, qu ils soient positifs, négatifs… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”