Ensemble parfait

Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à l'ensemble de ses points d'accumulation.

Exemples

Dans \mathbb R, un segment [a,b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor \{0,1\}^\N. Plus généralement, l'espace produit {0,1}I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est donné par l'ensemble \{ \sum_{n \in E} a_n, E \subset \mathbb N\} où \sum a_n est une série absolument convergente de complexes telle que, pour tout N,

∑ | an | < | aN |
n > N

.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si P0 est une partie fermée de \mathbb R ou de \mathbb R^n, on définit le dérivéP' = P1 de P0 comme l'ensemble des points d'accumulation de P0. Pour tout ordinal α, on pose Pα + 1 = (Pα)', et, si α est un ordinal limite, P^{\alpha} = \cap_{\beta<\alpha} P^{\beta}. Si Ω désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que[3] :

  • Ou bien P^{\Omega} = \varnothing. On dit que P0 est réductible.
  • Ou bien PΩ \neq \varnothing et dans ce cas, c'est un ensemble parfait. P0 est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés

Un ensemble parfait non vide de \mathbb R n'est pas dénombrable[4].

Toute partie fermée de \mathbb R (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson (en).

Notes et références

  1. ↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars (1905), rééd. Jacques Gabay (1995), p.54-57
  2. ↑ Jean-Marie Arnaudiès, L'intégrale de Lebsegue sur la droite, Vuibert (1997), p18-20.
  3. ↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars (1905), rééd. Jacques Gabay (1995), p.64-68
  4. ↑ René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars (1905), rééd. Jacques Gabay (1995), p.61

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Ensemble parfait de Wikipédia en français (auteurs)

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