Ensemble ouvert

Pour les articles homonymes, voir Ouverture.

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un ensemble qui ne contient pas sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'une topologie. Il s'agit d'une notion fondamentale par sa transversalité dans presque tous les domaines des mathématiques.

Sommaire

1 Exemples et définitions
2 Propriétés
3 Généralisations et autres approches de la notion de topologie
4 Références
5 Voir aussi

Exemples et définitions

Les définitions sont présentées de la plus spécifique à la plus générale.

Intuition : ouverts de la droite et du plan

Exemple : Les points (x, y) qui satisfont à l'équation x² + y² = r² sont en bleu. Les points (x, y) qui satisfont à la relation x² + y² < r² sont en rouge. Les points rouges forment un ensemble ouvert. L'union des points bleus et rouges forme un ensemble fermé.

Un ensemble ouvert (appelé aussi ouvert) de la droite ou du plan est un ensemble qui est vide ou qui présente la caractéristique suivante : en choisissant comme origine un point quelconque de l'ensemble, tous les points autour de celui-ci sont encore dans l'ensemble à condition de ne pas trop s'éloigner. Cela signifie que ce point est assez loin de tous les points n'appartenant pas à l'ensemble, ou encore, qu'il existe toujours une distance non nulle entre ce point et le complémentaire de l'ensemble (les points n'appartenant pas à l'ensemble).

Exemple :

Dans l'ensemble des nombres réels $\R$ , l'intervalle $X = ]0,1[$ , c'est-à-dire l'ensemble des réels $x$ tels quel $0 < x < 1$ , est ouvert.
Pour illustrer la définition, choisissons le point $0,99$ (qui appartient à l'ensemble $X$ ). Tous les points à une distance de $x$ inférieure ou égale à $+ 0,005$ appartiennent encore à l'ensemble. En effet, tous ces réels $y$ vérifient l'inégalité $0,985 \le y \le 0,995$ , et comme $0 < 0,985$ et que $0,995 < 1$ , les réels $y$ vérifient $0 < y < 1$ et appartiennent bien à X. Pour démontrer que X est un ouvert, il faudrait faire le même raisonnement pour tous les points de $X = ]0,1[$ , en ajustant au besoin la distance.

Contre-exemple :

Dans l'ensemble des réels, l'intervalle $Y = ]0,1]$ , c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels $y$ tels que $0 < y \le 1$ , n'est pas ouvert.
En effet, si on choisit le point 1 (qui appartient à l'ensemble $Y$ ), il n'y a aucun point supérieur à 1 et appartenant à l'ensemble $]0,1]$ , même si on s'éloigne très peu de ce point, dans le sens positif.

L'ensemble des ouverts de la droite (respectivement du plan) est appelé la topologie de la droite (respectivement la topologie du plan). On peut montrer que les ouverts de la droite sont l'ensemble vide et les ensembles qui sont réunion finie ou infinie d'intervalles ouverts.

Espaces métriques

Soit $(E, d)$ un espace métrique. Dans cet espace, une boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points de $E$ dont la distance à $x$ est strictement inférieure à $r$ :

$B(x,r)=\{ y\in E/\ d(x,y)<r\}$ .

Une partie $U$ de cet espace est ouverte si et seulement si pour tout point $x$ de $U$ , il existe une boule centrée sur $x$ et incluse dans $U$ :

$U\; \text{ ouvert de E} \Longleftrightarrow U \subset E\ \text{ et } \forall x \in U,\ \exists r>0,\ B(x,r) \subset U$

De façon équivalente, $U$ est ouverte si et seulement si tout point de $U$ possède un voisinage inclus dans $U$ .

Cela signifie que $U$ est un ouvert de $E$ si pour chacun de ses points $x$ , il contient également les points suffisamment proches de $x$ : on peut entourer chaque point en restant dans l'ouvert, donc aucun point de $U$ n'est au bord de $U$ .

Exemples :

Le point x est un point intérieur de S, car il est contenu dans S ainsi que l'intérieur d'un disque qui l'entoure. Le point y n'est pas à l'intérieur de S, car les disques centrés en y ne sont pas entièrement contenus dans S.

Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.
L'ensemble vide et l'ensemble E sont des ouverts.
La réunion et l'intersection de deux ouverts sont des ouverts.

Remarque :

Dans $\R$ , pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de $\R$ définis par des inégalités strictes. De plus les ouverts de $\R$ sont les réunions disjointes au plus dénombrables d'intervalles ouverts.

L'ensemble des ouverts de E est appelé la topologie de E.

Espaces euclidiens : définition basée sur la notion de point intérieur

Si S est une partie d'un espace euclidien $\mathbb{R}^n$ , on dit qu'un point x est un point intérieur de S si il existe une boule ouverte centrée en x qui est contenue dans S.

Un sous-ensemble de points $U$ de l'espace $\mathbb{R}^n$ est dit ouvert lorsque tout point $p$ élément de $U$ est un point intérieur.

L'ensemble vide et l'ensemble $\mathbf{R}^n$ sont des ouverts.
La réunion et l'intersection de deux ouverts sont des ouverts.

L'ensemble des ouverts de $\mathbf{R}^n$ est appelé la topologie de $\mathbf{R}^n$ .

Géométrie algébrique : ouverts de Zariski

En géométrie algébrique, un ensemble algébrique affine de $\mathbf{R}^n$ est l'ensemble des points qui vérifient un ensemble E d'équations polynomiales : si E un ensemble de polynômes $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ :

$Z_(E)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbf{R}^n, \forall f\in E,\ f(x_1,\ldots,x_n)=0\}$ est un ensemble algébrique affine.

En particulier si f est un polynôme $Z(f)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbf{R}^n, \ f(x_1,\ldots,x_n)= 0\}$ est un ensemble algébrique affine.

Les réunions finies $Z_(E_1)\cup Z_(E_2)\ldots\cup Z_(E_k)$ de tels ensembles Z(E) sont appelés des fermés.

Les complémentaires dans $\mathbf{R}^n$ des fermés constituent les ouverts. Un ouvert (non vide) s'écrit donc de la forme :

$U=\complement_{\mathbf{R}^n} (Z_(E_1)\cup Z_(E_2)\ldots\cup Z_(E_k))$ .

L'ensemble des ouverts est appelé la topologie de Zariski de la variété. C'est l'ensemble de parties de $\mathbf{R}^n$ (appelées ouverts) ayant le moins d'ouverts pour lequel les complémentaires dans $\mathbf{R}^n$ de ensembles Z(E) sont des ouverts et pour lequel l'intersection de deux ouverts est un ouvert. Les ouverts de la topologie de Zariski de la forme $U(f)=\{(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbf{R}^n, \ f(x_1,\ldots,x_n)\neq 0\}=\complement_{\mathbf{R}^n} Z_(f)$ sont appelés ouverts élémentaires. La plus petite topologie pour laquelle ces ensembles sont ouverts est la topologie de Zariski.

Exemple : Si n=1, les fermés sont R et les parties finies de R. Les ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles

$U=\mathbf{R} - \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ (R privé d'un ensemble fini).

Ce sont des réunions finies d'intervalles ouverts. La topologie est aussi appelée topologie co-finie (pour complémentaires des ensembles finis).

Dans la théorie des schémas, on adopte une définition plus abstraite : les ouverts d'une topologie de Grothendieck (topologie étale) sont définis comme des morphismes d'une catégorie.

Topologie

On définit un espace topologique par la donnée d'un couple $(X, T)$ , où $X$ est un ensemble et $T$ sa topologie, c'est-à-dire un ensemble de parties de $X$ ( $T \subset \mathcal P (X)$ ) vérifiant les 3 propriétés suivantes:

$X\in T$ et $\emptyset \in T$
T est stable par intersection finie ( $U_1\cap U_2\in T$ si $T_1\in T$ et $T_2\in T$ .
T est stable par réunion quelconque : $\cup_\alpha U_{\alpha} \in T$ si $T_\alpha\in T$ .

Par définition, un ensemble $U$ est un ouvert de $(X, T)$ si $U$ est un élément de $T$ : la topologie est donc l'ensemble des ouverts.

Cette définition est générale, elle montre que le caractère ouvert d'une partie d'un ensemble dépend de la topologie qu'on se donne : n'importe quel ensemble est ouvert, pour une topologie suffisamment fine, alors qu'une partie non triviale n'est pas ouverte pour une topologie trop grossière. La plupart des espaces n'ont pas de topologie canonique, mais souvent plusieurs topologies intéressantes.

Exemples :

La topologie $T=\{\emptyset, X\}$ réduite à l'ensemble vide et à X est la topologie grossière.
L'ensemble $T=\mathcal P (X)$ de toutes les parties constitue la topologie discrète.

Applications continues

Soit deux espaces topologiques $E$ et $F$ . Une fonction $f:E \longrightarrow F$ est continue si l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert de $E$ . Si c'est l'image directe d'un ouvert qui est ouverte, on parle d'application ouverte.

Espaces vectoriels de dimension finie

Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps topologique K a une topologie canonique : il s'agit de la topologie la moins fine (ayant le moins d'ouverts) qui rende continue les formes linéaires (les fonctions linéaires $E\to K$ ) : ainsi pour $\mathbb{R}^n$ , elle est engendrée par les pavés ouverts : les ouverts sont les réunions (éventuellement infinies) de produits d'intervalles ouverts.

Propriétés

Toute réunion (finie ou infinie) d'ouverts est un ouvert.
Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.

L'intersection infinie d'ouverts n'est en général pas un ouvert.

L'ouverture d'un ensemble dépend de l'espace environnant, c'est-à-dire de l'ensemble dont il est issu.

Exemples :

L'intervalle ouvert $I = ]0,1[$ est ouvert si on le considère comme une partie de la droite des nombres réels, mais ne l'est pas si on le considère comme une partie du plan $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
L'ensemble $Z=]0, 1[\;\cap\; \mathbb{Q}$ , soit le sous-ensemble des nombres rationnels $z$ tels que $0 < z < 1$ , est ouvert si on le considère comme une partie de l'ensemble des nombres rationnels, mais ne l'est pas si on le considère comme une partie de l'ensemble des nombres réels. En effet, dans $\R$ , cet ensemble est plein de trous, en ce sens qu'il existe une infinité de nombres irrationnels aussi proche que l'on veut d'un élément z de de $Z$ . Autour de z, on trouvera ainsi toujours des éléments qui n'appartiennent pas à Z, même en restant très près de z.

Intérieur d'une partie

Toute partie $P$ d'un espace topologique $(X, T)$ contient au moins un ouvert (éventuellement vide) ; le plus grand de ces ouverts est appelé l'intérieur de $S$ et peut être construit en considérant l'union de tous les ouverts inclus dans $S$ .

Voisinage d'une partie

Un voisinage d'une partie A (non vide) est une partie V qui contient un ouvert U contenant A, c'est-à-dire tel que $A\subset U\subset V$ .

Les voisinages d'une partie non vide constituent un filtre, c'est-à-dire que l'intersection de deux voisinages est un voisinage et qu'une partie qui contient un voisinage est un voisinage.

Ensemble fermés

On dit qu'une partie d'un espace topologique $(X, T)$ est fermée si son complémentaire dans X est un ouvert.

Remarque : Les singletons (parties ne contenant qu'un élément) ne sont pas toujours fermés. Ils le sont si l'espace topologique est séparé.

Connexité

$\emptyset$ et $E$ sont des ouverts et des fermés. La topologie réduite à ces deux ensembles est appelée topologie grossière.

Un espace X est dit connexe si les seules parties ouvertes et fermées de X sont X et l'ensemble vide. Autrement dit, dans un espace connexe le complémentaire d'une partie ouverte n'est jamais un ouvert, sauf si la partie ou son complémentaire est vide.

Généralisations et autres approches de la notion de topologie

Il existe des définitions généralisées d'espaces topologiques où la notion de topologie n'est pas bâtie sur la notion d'ouvert. Pour ces approches, la propriété pour un ensemble d'être ouvert n'est pas topologiquement intrinsèque^[1], d'autant plus que ces généralisations ne s'appuient pas sur la théorie des ensembles.

Références

↑ Antoine Appert, « Sur le meilleur terme primitif en topologie », dans Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, 1982, p. 65 [texte intégral]

Voir aussi

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Catégorie : Topologie générale

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