Diagramme de Minkowski

Diagramme de Minkowski représentant la translation des coordonnées d'espace-temps (x,t) d'un observateur en celles (x', t') d'un second observateur (en bleu) en déplacement par rapport au premier à 40% de la vitesse de la lumière.

Le diagramme de Minkowski est un diagramme d'espace-temps développé en 1908 par Hermann Minkowski, qui fournit une représentation des propriétés de l'espace-temps défini par la théorie de la relativité restreinte. Il permet une compréhension qualitative et intuitive de phénomènes comme la dilatation du temps, la contraction des longueurs ou encore la notion de simultanéité, sans utiliser d'équations mathématiques.

Le diagramme de Minkowski utilise une seule dimension spatiale. Il superpose deux systèmes de coordonnées correspondant à deux observateurs en translation rectiligne et uniforme l'un par rapport à l'autre. Son objectif principal est de permettre de visualiser immédiatement les coordonnées d'un même évènement dans un référentiel, à partir des coordonnées de l'autre référentiel, et de résoudre ainsi de nombreux problèmes et paradoxes apparents de la relativité restreinte. Ce diagramme permet également de montrer graphiquement la propriété de la vitesse de la lumière d'être une vitesse non dépassable.

La structure et les propriétés du diagramme résultent des postulats de la relativité restreinte et des propriétés de l'espace de Minkowski. Elles illustrent les relations profondes entre l'espace et le temps, découvertes par la théorie de la relativité restreinte.

Bases

Ligne d'univers du photon. Les lignes d'univers des particules massives sont nécessairement au-dessus de cette droite.

Pour la lisibilité du diagramme, une seule dimension spatiale est représentée. Contrairement aux diagrammes distance/temps usuels, la coordonnée spatiale est en abscisse et le temps en ordonnée. Les objets décrits par ce diagramme peuvent être pensés comme se déplaçant du bas vers le haut à mesure que le temps passe. La trajectoire d'un objet dans ce diagramme est appelée ligne d'univers. Une particule immobile aura une ligne d'univers verticale.

Chaque point du diagramme représente une certaine position dans l'espace et le temps. Cette position est appelée un évènement, indépendamment du fait qu'il se passe réellement quelque chose en ce point ou non.

Pour faciliter l'utilisation du diagramme, l'axe des ordonnées représente une quantité "ct" qui est le temps multiplié par la vitesse de la lumière "c". Cette quantité est assimilable également à une distance. De cette manière, la ligne d'univers du photon est une droite de pente 45°, l'échelle des deux axes étant identique dans un diagramme de Minkowski.

Construction et règles de transformation des coordonnées

Représentation asymétrique

Règle de projection d'un évènement A sur les axes (x,ct) et (x', ct')

Dans une représentation asymétrique (la plus commune), où un référentiel (x,ct) est considéré au repos et l'autre (x',ct') en mouvement avec une vitesse v (rectiligne et uniforme) par rapport à lui, le diagramme de Minkowski se construit en représentant le premier référentiel avec des axes orthogonaux.

Détermination des axes du second référentiel :

Le second référentiel est représenté avec un axe (O,ct') identifié avec la droite d'équation (ou encore x = β.ct, avec β = v / c) et (O,x') avec la droite symétrique par rapport à la droite d'équation x = ct, c'est-à-dire est d'équation x = (c² / v).t (ou encore x = β ^{− 1}.ct).

D'un point de vue angulaire, cela signifie que l'axe (O,ct') fait un angle α par rapport à (O,ct) et (O,x') fait le même angle mais de sens opposé par rapport à (O,x), et que l'angle α est tel que .

Graduation des axes (O,ct') et (O,x') :

Les transformations de Lorentz nous donnent les relations avec et

Pour le point de coordonnées (0';1') (donc x' = 0 et ct' = 1), on a : ct = γ > 0 et x = γβ > 0 qui forment un couple de solutions positives de l'équation c²t² − x² = 1.

De même, pour le point (1';0') (donc x' = 1 et ct' = 0), on a : ct = γβ > 0 et x = γ > 0 qui forment un couple de solutions positives de l'équation c²t² − x² = − 1.

En fait, cette détermination de la graduation utilise l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel : .

Géométriquement, pour placer les points (0';1') et (1';0'), il suffit de considérer le point commun de coordonnées positives de (O,ct') et de la courbe c²t² − x² = 1, d'une part, et le point commun de coordonnées positives de (O,x') et de la courbe c²t² − x² = − 1, d'autre part.

Détermination des coordonnées d'un point :

Les coordonnées (x,ct) et (x',ct') d'un même évènement A se trouvent par projection sur chaque axe, parallèlement à l'autre axe du référentiel, conformément aux règles usuelles des coordonnées cartésiennes.

Cette représentation est alors apte à décrire un certain nombre de raisonnements qualitatifs et quantitatifs : dilatation des durées, contraction des longueurs, combinaison des vitesses... combinaison de transformation de Lorentz successives (unidimensionnelles).

Représentation symétrique

Représentation symétrique, avec les lignes de simultanétité pour chaque observateur.

Il existe une représentation symétrique du diagramme de Minkowski (appelée également diagramme de Loedel d'après le physicien Enrique Loedel Palumbo qui a introduit le premier cette représentation symétrique) où aucun référentiel n'est privilégié. Les deux systèmes d'axes sont représentés symétriquement par rapport aux directions orthogonales, et sont séparés par un angle β tel que :

.

Contrairement à la représentation asymétrique, l'échelle et la graduation des axes des deux référentiels est la même, ce qui facilite l'interprétation des figures. Cette représentation apparaît plus proche de l'esprit de la relativité où aucun référentiel n'est privilégié : en effet, dans la représentation asymétrique, le fait de prendre les axes Ot et Ox orthogonaux est arbitaire, alors que dans la représentation symétrique, l'orthogonalité de Ot avec Ox' et de Ot' avec Ox résulte des symétries, et donne immédiatement l'invariance de la distance de Minkowski entre deux événements.

Lignes de simultanéité

Par définition, tous les évènements situés sur l'axe (0,x) sont simultanés (possèdent le même temps t = 0). En conséquence, toutes les droites parallèles à (O,x) sont des lignes de simultanéité de l'observateur situé dans le référentiel (x,t). De même, toutes les droites parallèles à (O,x') sont les lignes de simultanéité pour l'observateur situé dans le référentiel (x',t'). Tous les évènements situés sur ces droites se passent "au même instant" pour un observateur donné. Cette simultanéité de 2 évènements distants spatialement et qui dépendent du référentiel correspond bien à celle proposée par Einstein à l'aide de signaux lumineux.

Le diagramme de Minkowski illustre la relativité de la simultanéité. La théorie de la relativité restreinte stipule en effet que deux évènements peuvent être vus comme simultanés pour un observateur, et non simultanés pour un autre en déplacement par rapport au premier. Il est même possible, quand les deux évènements sont séparés par un intervalle de genre espace que deux évènements soient vus dans un certain ordre par un observateur, et dans l'ordre inverse par un autre.

Exemples d'application

Dilatation temporelle

Dilatation temporelle : les deux observateurs considèrent que le temps passe plus lentement dans l'autre référentiel

Selon la théorie de la relativité restreinte, une horloge animée d'une certaine vitesse par rapport à un référentiel qualifié de fixe sera observée comme battant le temps à un rythme plus lent que celui des horloges de ce référentiel.

Cette constatation est réciproque, c'est-à-dire que l'horloge dans le repère "fixe" sera également observée comme plus lente que celles du référentiel en mouvement, à partir de ce dernier référentiel, ce qui semble à première vue paradoxal.

Ceci peut être visualisé avec un diagramme de Minkowski. Pour un observateur en A (voir schéma ci-contre), le temps "simultané" de l'autre référentiel est le temps en B qui est inférieur à A^{[note 1]}. L'observateur en A peut donc logiquement conclure que le temps se passe plus lentement dans l'autre référentiel. Réciproquement, pour un observateur en B, le temps « simultané » de l'autre référentiel est en C, qui est inférieur à B, et observe également un ralentissement du temps dans l'autre référentiel.

La vitesse de la lumière comme vitesse limite

Emission d'un message vers le passé, à une vitesse supraluminique, de S à M' via O'.

Le diagramme de Minkowski permet de mettre en évidence les contradictions et paradoxes qui interviennent à partir du moment où on postule qu'une information peut se propager à une vitesse supérieure à celle de la lumière. Notamment, il serait possible dans ces conditions de transmettre une information dans son propre passé^[1],[2].

Soit la ligne d'univers Ω₂ dans le référentiel fixe. Il est possible pour un observateur sur cette ligne d'univers de transmettre une information à un observateur sur la ligne d'univers Ω₁, en mouvement (avec une vitesse < c) par rapport au premier, au moment où les deux observateurs se rejoignent (point S).

L'observateur Ω₁ émet alors, plus vite que la lumière, cette information vers un observateur sur la ligne d'univers Ω₃ (flèche T1). L'information atteint Ω₃ en O'. L'observateur Ω₃ réémet alors l'information vers Ω₂, plus vite que la lumière également^{[note 2]}, vers Ω₂ (flèche T2). L'information atteint Ω₂ en M', avant que Ω₂ l'a émis en S^[1].

Chaque observateur Ω₁ et Ω₃ envoie une information vers son propre futur, comme le montre la direction des flèches T1 et T2 par rapport à la ligne de simultanéité de leur référentiel. Mais le déplacement relatif des deux observateurs, et la trajectoire de genre espace (en dehors du cône de lumière) de chaque émission, rend possible une émission vers le passé de Ω₂.

De plus, pour l'observateur dans le référentiel mobile (en bleu), l'évènement S a lieu avant l'évènement O', alors que l'ordre temporel apparait inverse pour un observateur dans le référentiel fixe (en noir). Pour l'observateur mobile, S est la cause de O', alors que pour le fixe O' est la cause de S. Ceci est une violation du principe de causalité selon lequel la cause précède toujours l'effet.

Ces considérations montrent que la limite de la vitesse de la lumière est une conséquence des propriétés de l'espace-temps et de la notion de causalité, et non une conséquence liées aux propriétés physiques des objets eux-mêmes, comme des limites technologiques par exemple.

Articles connexes

• Espace de Minkowski
• Diagramme de Bondi

Notes et références

Notes

Références

Sources

• (en) Wolfgang Rindler, Relativity: Special, General and Cosmological, Oxford, Oxford University Press, 2001, poche (ISBN 978-0-19-850836-6) (LCCN 00067605) 

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