Dernier théorème de Fermat

En mathématiques, le dernier théorème de Fermat, ou théorème de Fermat-Wiles, est un théorème de la théorie des nombres qui s'énonce comme suit :

Proposé sans démonstration par le célèbre mathématicien Pierre de Fermat, il a été démontré par le mathématicien anglais Andrew Wiles en 1995.

Une page de l'édition de 1621 de l’Arithmetica^[1]. C'est sur un exemplaire similaire – non retrouvé – que Fermat a écrit sa note.

Page 61 de la réédition de 1670 de l’Arithmetica, réédition supervisée par le fils de Fermat

Historique

Énoncé de Fermat

Le théorème doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonça en marge d'une traduction^[1] de l'Arithmetica de Diophante et ajouta :

« … J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition. Mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Reproduction de la note de Fermat en latin, page 61 de la réédition de 1670 de l’Arithmetica et sa transcription partielle : « […] cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. »

Démonstration par Andrew Wiles

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant près de 350 ans, n'aboutissant qu'à des résultats partiels, le théorème a finalement été démontré par le mathématicien Andrew Wiles^[2]. La démonstration, publiée en 1995, recourt à des outils très puissants de théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes, à la formule des traces…

La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps^[3] :

• en juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, le manuscrit de sa démonstration circule auprès d'un petit nombre de mathématiciens. Plusieurs critiques sont émises contre la démonstration que Wiles a présentée en 1993, presque toutes de l'ordre du détail et résolues rapidement, sauf une, qui met en évidence une lacune.
• en octobre 1994, après plusieurs mois de nouvelles recherches et avec l'aide de Richard Taylor, Wiles réussit à contourner le problème soulevé. Le document final est publié en 1995^[4].

Fermat l'avait-il démontré ?

Le théorème de Fermat n'apparaît sous sa main que dans une note manuscrite en marge d'un ouvrage d'arithmétique de Diophante, édité par Bachet de Méziriac, et cette note n'a été publiée qu'après la mort de Fermat. Celui-ci n'a jamais fait part de cette découverte à qui que ce soit de son vivant. Par ailleurs, les démonstrations partielles au cours des siècles qui ont suivi ont nécessité des outils mathématiques qui n'existaient pas au temps de Fermat. La plupart des mathématiciens estiment donc aujourd'hui que Fermat a cru avoir montré le résultat général avant sans doute de se rendre compte d'une erreur. Par ailleurs, il semble qu'au moins une fois, Fermat se soit mépris sur la valeur d'une de ses démonstrations : après avoir dit à plus d'une reprise qu'il n'avait pas encore trouvé de démonstration de sa conjecture sur les nombres de Fermat, il s'exprima, dans une lettre de 1659 à Carcavi^[5], en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estimait avoir démontré^[6] cette conjecture, pourtant erronée.

Méthode de la démonstration

Principe

Andrew Wiles

La démonstration d'Andrew Wiles s'appuie sur de nombreux travaux antérieurs et peut se résumer comme suit :

1. on se ramène d'abord aux cas d'exposants n premiers impairs.
2. à une solution non triviale (x,y,z) (i.e. ) avec les entiers relatifs x, y, z premiers entre eux, on associe une courbe elliptique particulière (Frey, reprenant des idées d'Hellegouarch),
3. démontrer que la courbe de Frey-Hellegouarch ne peut pas être paramétrée par des fonctions modulaires (Ribet, démontrant une conjecture de Serre),
4. démontrer que toute courbe elliptique — ou une classe suffisamment importante pour contenir celle de Frey-Hellegouarch — est paramétrée par des fonctions modulaires : c'est la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, si importante en théorie des nombres.

La contradiction qui en résulte montre que l'équation de Fermat ne peut avoir de solutions.

Notions utilisées

Courbes elliptiques

Une courbe elliptique est une courbe d'équation de la forme :

y² + axy + by = x³ + cx² + dx + e.

Les coefficients a, b, c, d et e sont des éléments du corps sur lequel est définie la courbe. Pour qu'une telle courbe soit effectivement une courbe elliptique, il faut que la courbe ainsi définie ne soit pas singulière, c’est-à-dire qu'elle n'ait ni point de rebroussement, ni point double. Cette dernière condition s'exprime par le fait qu'un certain polynôme sur les coefficients, analogue à un discriminant, ne s'annule pas.

Si l'on prend l'exemple du corps des réels, alors l'équation d'une courbe elliptique définie sur le corps des nombres réels peut être mise sous une forme plus simple (dite équation de Weierstrass) :

y² = x³ + ax + b.

Le discriminant de cette courbe est δ = − 16(4a³ + 27b²). S'il est non nul, la courbe est non-singulière, et donc est vraiment une courbe elliptique.

Courbe de Frey-Hellegouarch

En 1984, Gerhard Frey, en reprenant des idées plus anciennes de Yves Hellegouarch, démontra que les solutions de l'équation de Fermat pour n > 2, permettaient de définir des courbes elliptiques semi-stables aux propriétés étranges ; ce sont les courbes d'équation :

y² = x(x + Aⁿ)(x − Bⁿ),

où Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ est un contre-exemple au théorème de Fermat.

Pour conclure, il suffit de montrer que la courbe elliptique ainsi définie a des propriétés trop merveilleuses pour pouvoir exister.

Comme dans d'autres situations en mathématiques, le fait d'intégrer le problème de Fermat dans un cadre plus général et apparemment beaucoup plus difficile a permis de grandes avancées, parce que l'on dispose alors de tout un outillage développé pour ce cadre.

Démonstration de Kenneth Ribet

En 1986, après pratiquement deux ans d'effort, l'Américain Ken Ribet réussit à démontrer une grande partie de la conjecture epsilon de Jean-Pierre Serre, dont une des conséquences est que la courbe de Frey-Hellegouarch n'est pas paramétrable par des fonctions modulaires.

Il ne restait plus qu'à démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil : « Toute courbe elliptique est paramétrable par des fonctions modulaires. »

Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil

La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil précise que les courbes elliptiques sur peuvent toujours être associées (ou paramétrées) à des fonctions spéciales dites modulaires (généralisation des fonctions trigonométriques).

Pour démontrer cette conjecture, Andrew Wiles utilisa entre autres les notions mathématiques suivantes :

• les fonctions L ;
• les formes modulaires ;
• les groupes de Galois absolus ;
• la théorie de déformations de représentations galoisiennes.

La démonstration complète pour les courbes elliptiques semi-stables a été publiée en 1995 dans Annals of Mathematics.

Remarques

Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il prend une telle valeur. L'article Démonstrations du dernier théorème de Fermat montre quelques exemples d'outils découverts et utilisés pour la résolution de ce problème.

On peut également comprendre ce théorème graphiquement en considérant la courbe d'équation : xⁿ + yⁿ = 1. Si n > 2, alors cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.

L'usage voulant qu'on donne à un théorème le nom de celui qui en a apporté la démonstration, l'appellation de « théorème de Fermat » ne se justifie pas à proprement parler. Il faudrait parler soit d'une « conjecture de Fermat », soit du « théorème de Wiles ».

Ce théorème n'a pas vraiment de relation avec le théorème de Pythagore. L'objet du théorème de Pythagore est de donner une caractérisation géométrique des triangles pythagoriciens, c'est-à-dire dont les longueurs des côtés forment un triplet pythagoricien, ces triplets étant eux-mêmes les solutions de l'équation de Fermat dans le cas n = 2. L'analogie avec le théorème de Fermat est donc la question de l'existence de triplets pythagoriciens, et la question de leur interprétation géométrique est nettement une autre question. Néanmoins, Fermat s'est évidemment inspiré de la notion de triplet pythagoricien : sa conjecture est en effet notée en marge d'un exposé de Diophante sur les triplets pythagoriciens.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

• Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat, (ISBN 978-2-01-278921-0)
  Un livre de vulgarisation qui prend le dernier théorème de Fermat pour présenter la théorie des nombres.
• Yves Hellegouarch, Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles [détail des éditions]
• Guillermo Martínez, Mathématique du crime (en), Éditions Nil, 2004.

Article connexe

Démonstrations du dernier théorème de Fermat (pour n = 3, 4 et 5).

Lien externe

Un documentaire télévisé de vulgarisation de Simon Singh

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