Groupe De Galois Absolu

Groupe De Galois Absolu

Groupe de Galois absolu

En mathématiques, le groupe de Galois absolu d'un corps commutatif K est le groupe de Galois de l'extension séparable maximale, la clôture séparable, Ksep du corps K. Dans le cas d'un corps parfait (et donc en particulier en caractéristique nulle), la clôture séparable coïncide avec la clôture algébrique. La compréhension du groupe de Galois absolu du corps des nombres rationnels est un problème important en théorie algébrique des nombres.

Ce groupe est unique à isomorphisme près. Il a une structure naturelle de groupe profini.

Une autre notion liée est celle de pro-p-groupe de Galois absolu, pour p un nombre premier. Il s'agit du plus grand pro-p-quotient du groupe de Galois absolu, ou encore, par la correspondance de Galois, du groupe de Galois de la pro-p-clôture séparable.

Exemples

  • Un corps séparablement clos a un groupe de Galois absolu trivial.
  • La clôture algébrique du corps \mathbb{R} des nombres réels est le corps \mathbb{C} des nombres complexes ; le groupe de Galois absolu de \mathbb{R} est \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
  • Le groupe de Galois absolu d'un corps fini est le complété profini \hat{\mathbb{Z}} de \mathbb{Z}. C'est un groupe procylique.
  • Le pro-p-groupe de Galois absolu d'une extension finie K du corps des nombres p-adiques \mathbb{Q}_p est un pro-p-groupe libre à [K:\mathbb{Q}_p]+1 générateurs, si K ne contient pas les racines p-èmes de l'unité, et si K les contient, il s'agit d'un pro-p-groupe à [K:\mathbb{Q}_p]+2 générateurs, et une seule relation, et plus précisément d'un groupe de Demuchkin.

Référence

(en) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg Cohomology of number fields [détail des éditions]

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Groupe de Galois absolu ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe De Galois Absolu de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Groupe de galois absolu — En mathématiques, le groupe de Galois absolu d un corps commutatif K est le groupe de Galois de l extension séparable maximale, la clôture séparable, Ksep du corps K. Dans le cas d un corps parfait (et donc en particulier en caractéristique… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de Galois absolu — Pour les articles homonymes, voir Absolu. En mathématiques, le groupe de Galois absolu d un corps commutatif K est le groupe de Galois d une clôture séparable (extension algébrique séparable maximale) Ksep du corps K. Dans le cas d un corps… …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Galois — Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L lais …   Wikipédia en Français

  • Groupe de galois — Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L lais …   Wikipédia en Français

  • Groupe de Galois — Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L laissant K invariant …   Wikipédia en Français

  • Groupe (mathématique) — Groupe (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Groupe.  Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissement, voir théorie des groupes …   Wikipédia en Français

  • Groupe (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Groupe. Les manipulations possibles du cube de Rubik forment un groupe. En mathématiques, un groupe est un ensemble …   Wikipédia en Français

  • Absolu — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Absolu », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Couramment, l adjectif absolu s oppose à… …   Wikipédia en Français

  • Histoire des groupes de Galois — Groupe de Galois Évariste Galois 1811 1832 En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L… …   Wikipédia en Français

  • Structure de groupe — Groupe (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Groupe.  Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissement, voir théorie des groupes …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”