- Theoreme de rearrangement de Riemann
-
Théorème de réarrangement de Riemann
En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à valeurs réelles est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, et même tendre vers plus ou moins l'infini.
Sommaire
Énoncé
Soit
une suite à valeurs réelles telle que sa série associée soit semi-convergente, c'est-à-dire que
mais
Et soit
Alors il existe une permutation σ de
tel que
Démonstration
Lemme
Posons
On a alors
et
Les sérieset
convergent ou divergent simultanément d'après (1) car la série
converge. Mais si les deux convergent, cela implique d'après (2) que la série
converge, ce qui est absurde. Finalement, comme
et
pour tout
, on a
Démonstration principale
On suppose ici que
.
Construction de la permutation
On construit une permutation σ de
de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs (sans en omettre) ou nuls jusqu'à dépasser α (possible d'après (3)). Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à α (possible d'après (3)). Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc... On a bien construit une permutation.
Convergence
Soit
0" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0">. Il existe
tel que pour tout
,
Sinon la série serait grossièrement divergente. Il existe donc
tel que pour tout
,
Par exemple, il suffit de prendre
.
Soit maintenant N2 le plus petit entier strictement supérieur à N1 tel que
et
soient de signes opposés. On a alors
Pour
, on pose alors la proposition
On a vu que
est vraie. Supposons alors que pour
, la proposition
soit vraie. Distinguons alors deux cas:
Premier cas, on a
Alors
donc
Deuxième cas, on a
Alors
donc
Finalement par principe de récurrence, on a montré que
0,\ \exists N_2 \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/54/6c1cbd5891bcbd577cafe3fcd42f6899.png" border="0">
ce qui achève la preuve.
Références
- L'article de Bernhard Riemann Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonomètrique d'une fonction donnée arbitrairement dans l'ouvrage Et Dieu créa les nombres, les plus grands textes de mathématiques réunis et commentés par Stephen Hawking chez Dunod.
- Portail des mathématiques
Catégories : Série | Bernhard Riemann | Théorème de mathématiques | Permutation
Wikimedia Foundation. 2010.