Theoreme de rearrangement de Riemann

Théorème de réarrangement de Riemann

En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à valeurs réelles est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, et même tendre vers plus ou moins l'infini.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Lemme
- 2.2 Démonstration principale
  - 2.2.1 Construction de la permutation
  - 2.2.2 Convergence
3 Références

Énoncé

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs réelles telle que sa série associée soit semi-convergente, c'est-à-dire que

$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R,$

mais

$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty,$

Et soit $\alpha \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}.$

Alors il existe une permutation $σ$ de $\N$ tel que

$\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha.$

Démonstration

Lemme

Posons

$\forall n \in \N,\ a_n=\max(u_n,0) \quad \text{et} \quad b_n=\min(0,u_n).$

On a alors

$\forall n \in \N,\ u_n=a_n+b_n; \qquad (1)$

$\forall n \in \N,\ |u_n|=a_n-b_n. \qquad (2)$

Les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent ou divergent simultanément d'après (1) car la série $\sum u_n$ converge. Mais si les deux convergent, cela implique d'après (2) que la série $\sum |u_n|$ converge, ce qui est absurde. Finalement, comme $a_n \geq 0$ et $b_n \leq 0$ pour tout $n \in \N$ , on a

$\sum_{k=0}^n a_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^n b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} -\infty.\qquad (3)$

Démonstration principale

On suppose ici que $\alpha\in \R$ .

Construction de la permutation

On construit une permutation $σ$ de $\N$ de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs (sans en omettre) ou nuls jusqu'à dépasser $α$ (possible d'après (3)). Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à $α$ (possible d'après (3)). Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc... On a bien construit une permutation.

Convergence

Soit $\varepsilon>0$ . Il existe $N_0\in \N$ tel que pour tout $n \in \N$ ,

$n\geq N_0 \Longrightarrow |u_n|<\varepsilon.$

Sinon la série serait grossièrement divergente. Il existe donc $N_1\in\N$ tel que pour tout $n \in \N$ ,

$n\geq N_1 \Longrightarrow |u_{\sigma(n)}|<\varepsilon.$

Par exemple, il suffit de prendre $N_1=1+\max\{\sigma^{-1}(0),\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N_0)\}$ .

Soit maintenant $N 2$ le plus petit entier strictement supérieur à $N 1$ tel que $u_{\sigma(N_2)}$ et $u_{\sigma(N_2+1)}$ soient de signes opposés. On a alors

$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{N_2-1} u_{\sigma(k)} \right| \leq | u_{\sigma(N_2)}|\leq \varepsilon.$

Pour $n \geq 2$ , on pose alors la proposition

$\mathcal{P}(n): \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

On a vu que $\mathcal{P}(N_2-1)$ est vraie. Supposons alors que pour $n \geq N_2-1$ , la proposition $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Distinguons alors deux cas:

Premier cas, on a

$0<\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq \varepsilon.$

Alors $0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon$ donc

$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

Deuxième cas, on a

$-\varepsilon \leq \alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq 0.$

Alors $-\varepsilon \leq u_{\sigma(n+1)} < 0$ donc

$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

Finalement par principe de récurrence, on a montré que

$\forall \varepsilon>0,\ \exists N_2 \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon,$

ce qui achève la preuve.

Références

L'article de Bernhard Riemann Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonomètrique d'une fonction donnée arbitrairement dans l'ouvrage Et Dieu créa les nombres, les plus grands textes de mathématiques réunis et commentés par Stephen Hawking chez Dunod.

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