Cohomologie de De Rham

En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique basée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham. Le théorème de De Rham affirme que la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle est la cohomologie à coefficients réels de l'espace topologique sous-jacent.

Définitions

Soit M une variété différentielle, et Ω^p(M) l'ensemble des formes différentielles ω de degré p sur M. Cet ensemble a une structure de fibré vectoriel sur M.

Soit d^p l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p :

qui associe à la forme différentielle ω de degré p sa dérivée extérieure dω, forme différentielle de degré p + 1.

On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré; il faut alors sous-entendre d^pω où p est le degré de ω.

Formes fermées, formes exactes

Lorsque dω = 0, on dit que la forme différentielle ω est fermée.

Lorsque ω = dα, on dit que la forme différentielle ω est exacte.

Théorie locale (Lemme de Poincaré)

On a pour tout p la relation. On en déduit le :

Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :

Plus précisément pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.

En effet si est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.

Théorie globale

Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan privé de l'origine, la forme est fermée, mais non exacte.

Dans le cas général, le p-ème groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.

Notations

• Z^p(M) l'espace des p-formes fermées.
• B^p(M) le sous-espace des p-formes exactes.

Définition  : groupes de cohomologie (de De Rham)

On définit le p-ème groupe de cohomologie de De Rham H^p(M) comme étant l'espace quotient de Z^p(M) par B^p(M) :

c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.

Exemples

• , où c désigne le nombre de composantes connexes de M.
• Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors Hⁿ(M) est de dimension 1.
• Si M., n'est pas orientable (les autres hypothèses restant les mêmes), Hⁿ(M) = 0
• H^k(Sⁿ) = 0 pour 0 < k < n

Voir aussi

Articles connexes

• Homologie
• Homologie singulière
• Homologie cellulaire
• Cohomologie de Dolbeault

Lien externe

• O. Burlet, Souvenirs de Georges de Rham

Bibliographie

Ouvrages de mathématiques

• Georges de Rham, Variétés différentiables – Formes, courants, formes harmoniques, Hermann, Paris, 1973, 3^e éd. revue et augmentée (ISBN 978-2-70561222-1)
• (en) William Fulton, Algebraic Topology – A First Course, GTM (en) 153, Springer Verlag, 1995 (ISBN 978-0-387-94327-5)
• (en) Raoul Bott et Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 82, Springer Verlag, 1995, 3^e tirage corrigé (ISBN 978-0-387-90613-3)
• (en) Glen E. Bredon, Topology and Geometry [détail des éditions]
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
• (en) Lars Gårding (de), Encounter with mathematic, Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1977 (ISBN 978-0-387-90229-6), p.  164-166
• Henri Cartan, Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables, in Œuvres - Collected Works, Volume III, Springer Verlag, Heidelberg, 1979 (ISBN 978-3-54009189-9), p. 1448-1458

Ouvrages de physique théorique

• (en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press, 2004, 2^e éd. révisée et illustrée (ISBN 978-0-52153927-2)

• (en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing, 2003, 2^e éd. illustrée (ISBN 978-0-75030606-5)

• (en) Charles Nash et Siddhartha Sen, Topology & Geometry for Physicists, Academic Press, 1983 (ISBN 978-0-12514080-5)

• (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile deWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics - Part I: Basics, North-Holland, 1989 (ISBN 978-0-44486017-0)

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