Catégorie monoïdale

Catégorie monoïdale

En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie.

Définition

Une catégorie monoïdale est une catégorie \mathcal{C} munie :

  • D'un bifoncteur
\otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}

appelé produit tensoriel.

  • D'un objet I appartenant à \mathcal{C} appelé objet unité.
  • D'une transformation naturelle α appelé associateur telle que pour tous objets A,B,C, αA,B,C soit un isomorphisme de (A \otimes B) \otimes C vers A\otimes(B \otimes C). Autrement dit, α est un isomorphisme naturel du foncteur (-\otimes -) \otimes - vers le foncteur -\otimes (- \otimes -).
  • De deux transformations naturelles λ,ρ telles que pour tout objet A, λ et ρ induisent des isomorphismes \lambda_A: I \otimes A \longrightarrow A et \rho_A: A \otimes I \longrightarrow A.

Les conditions de cohérence pour ces transformations naturelles s'expriment par la commutativité des diagrammes suivants:

Monoidal-category-pentagon.png


Monoidal-category-triangle.png

Exemples

  • Si A est une algèbre associative, la catégorie des A-modules n'est pas une catégorie monoïdale en général. Il faut des conditions supplémentaires sur A, par exemple que A soit une algèbre de Hopf.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Catégorie monoïdale de Wikipédia en français (auteurs)

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