Opérades

Opérades

Opérade

En algèbre générale, une opérade est une structure algébrique modélisant les propriétés (associativité, commutativité et autres relations) d'une algèbre. Intuitivement, les éléments d'une opérade correspondent à des opérations à plusieurs entrées, que l'on peut additionner et composer. On représente ces opérations par des arbres, que l'ont peut greffer les uns aux autres pour représenter les compositions. Les opérades ont été introduites en topologie algébrique par May, Boardman et Vogt au début des années 1970, notamment pour modéliser les espaces de lacets itérés.

Sommaire

Paradigme

Regardons la structure algébrique que l'on peut mettre sur les ensembles P(n) des fonctions à plusieurs variables de Vn (pour tout entier n positif) dans V, où V est un espace vectoriel réel. On peut multiplier une fonction par un réel, et additionner deux fonctions de P(n). On a ainsi une structure d'espace vectoriel sur chaque P(n), donc une structure de module sur P(n). On peut rajouter une opération de composition, généralisant le classique (f \circ g) (x) existant pour les fonctions d'une variable : à f(x1,...xn) et g(y1,...,ym), on peut associer une fonction à n+m-1 variables f(x1,...,g(y1,...,ym),...,xn) où on a remplacé xi par la fonction g. On note cette opération f \circ_i g, et on l'appelle « produit de composition partiel » (de g à la ième place de f). On peut représenter graphiquement cette opération par une greffe d'arbres :

Représentation graphique de la composition.

Ce produit de composition partiel vérifie deux relations d'associativité, correspondant au fait que l'ordre n'importe pas dans les compositions suivantes :

Operades comp1.png
Operades comp2.png

La suite des ensembles P(n), munie de ces opérations (multiplication par un scalaire, addition, produit de composition partiel), est une opérade non symétrique.

On peut faire agir le groupe symétrique Σn sur n variables et obtenir par équivariance une action de Σn sur chaque P(n). Cette action possède des propriétés de compatibilité avec les opérations de l'opérade. Ceci donne une structure d'opérade à la suite des ensembles P(n).

On peut définir un produit de composition (total) à partir du produit de composition partiel : on remplace toutes les variables des entrées de f par d'autres fonctions gi. Ce produit est noté \circ.

\begin{matrix} P(n)\times P(k_1)\times\cdots\times P(k_n)&\to&P(k_1+\cdots+k_n)\\ (f,g_1,\ldots,g_n)&\mapsto&f\circ(g_1,\ldots,g_n) \end{matrix}

Définition d'une opérade

Une opérade non symétrique est une suite d'ensembles P(n) munie d'un produit de composition \circ et d'un élément unité 1 dans P(1) tels que les propriétés d'associativité et d'unité sont vérifiées. L'associativité s'écrit de la façon suivante : \theta\circ(\theta_1\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,k_1}),\ldots,\theta_n\circ(\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,k_n})) = (\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))\circ(\theta_{1,1},\ldots,\theta_{1,k_1},\ldots,\theta_{n,1},\ldots,\theta_{n,k_n}) .

L'axiome d'unité s'écrit : 1 \circ f = f = f \circ (1, \ldots, 1).

Une opérade est une opérade non symétrique telle que chaque P(n) est muni d'une action du groupe symétrique compatible avec les opérations de composition.

Remarque : Cette définition est dans le cadre de la catégorie des ensembles, mais une opérade est généralement définie pour une catégorie monoïdale symétrique quelconque. On travaille souvent aussi dans le cadre des modules (et les opérades sont alors dites opérades algébriques), ou dans le cadre des ensembles topologiques (on parle d'opérade topologique).

Définition d'algèbre sur une opérade

Pour une opérade algébrique, une algèbre sur une opérade est un module A muni d'une famille de morphismes P(n) \circ A^{\otimes n} \rightarrow A.

Remarque : Cette notion est le lien entre algèbres et opérades.

Exemples

  1. On peut associer une opérade à tout type d'algèbre. Par exemple, il existe une opérade associative (souvent notée As), les algèbres sur cette opérade étant les algèbres associatives. Il existe de même une opérade commutative (notée Com, et les algèbres sur cette opérade sont les algèbres commutatives), une opérade de Lie (notée Lie), etc.
  2. Comme pour de nombreuses structures algébriques, il existe la notion d'objet libre. L'opérade libre est fréquemment utilisée pour définir des opérades par générateurs et relations. Par exemple, l'opérade associative est définie comme l'opérade libre sur un unique générateur quotientée par l'idéal engendré par la relation d'associativité.
  3. Pour A une algèbre, on peut définir une opérade P où P(1) = A et P(n) = 0 sinon. Ceci montre que toute algèbre peut être vue comme une opérade (ce lien est différent du lien donné par les algèbres sur les opérades).
  4. L'opérade (topologique) des petits disques (ou petits cubes) est un exemple important. Elle vient de la théorie de l'homotopie. Intuitivement, un élément de P(n) correspond à l'arrangement de n petits disques dans le disque unité, et la composition de deux éléments revient à insérer les petits disques de l'un dans un petit disque de l'autre.

Origines du mot

Le mot opérade (operad en anglais) vient de la contraction de « monade d'opérations » (operation monad en anglais). Ce terme a été utilisé pour la première fois par Peter May.

Voir aussi

Références

  • Jim Stasheff, « What Is…an Operad? », dans Notices of the American Mathematical Society, vol. 51, no 6, June/July 2004, p. 630–631 [texte intégral] 
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Op%C3%A9rade ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Opérades de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Opérade — En algèbre générale, une opérade est une structure algébrique modélisant les propriétés (associativité, commutativité et autres relations) d une algèbre. Intuitivement, les éléments d une opérade correspondent à des opérations à plusieurs entrées …   Wikipédia en Français

  • Jean-Louis Loday — (né en 1946) est un mathématicien français, ancien élève du lycée Louis le Grand, de l’École normale supérieure de la rue d Ulm (1965), agrégé de mathématiques et docteur ès sciences (sous la direction de Max Karoubi (de)). ll est… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”