Catégorie monoïdale tressée

Catégorie monoïdale tressée: En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.

Définition formelle

Soit $(\mathcal{C},\otimes,\alpha,\lambda,\rho)$ une catégorie monoïdale. On note $\otimes^{op}$ le produit tensoriel opposé à $\otimes$ , c'est-à-dire le bifoncteur défini par $A \otimes^{op} B = B \otimes A$ . On appelle tressage sur $\mathcal{C}$ un isomorphisme naturel $β$ de $-\otimes -$ vers $- \otimes^{op}-$ . Autrement dit, pour tous objets $A, B$ de $\mathcal{C}$ , $β$ induit un isomorphisme
$\beta_{A,B}: A \otimes B \longrightarrow B \otimes A$
Représentation des groupes de tresses

Par définition, $β$ induit aussi un isomorphisme $\beta_{B,A}: B \otimes A \longrightarrow A \otimes B$ , qui peut etre inversé (puisque bijectif). Ceci induit donc un isomorphisme $(\beta_{B,A})^{-1}: A \otimes B \longrightarrow B \otimes A$ , qui en général est différent de $β A, B$ .

Si $V$ est un objet de $\mathcal{C}$ , quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet $V^{\otimes n}=V_1 \otimes V_2 \otimes \dots \otimes V_n$ . Puisque les $V i$ sont tous égaux à $V$ , on a en particulier
$V_1\otimes \dots V_i \otimes V_{i+1} \otimes \dots \otimes V_n = V_1\otimes \dots V_{i+1} \otimes V_{i} \otimes \dots \otimes V_n$
où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, $β$ induit un isomorphisme
$\beta_i:V_1\otimes \dots V_i \otimes V_{i+1} \otimes \dots \otimes V_n \rightarrow V_1\otimes \dots V_{i+1} \otimes V_{i} \otimes \dots \otimes V_n$
Ainsi, les applications $β i$ pour $i=1\dots n-1$ peuvent être considérées comme des éléments du groupes des automorphismes de $V^{\otimes n}$ . On en déduit qu'il existe un morphisme de groupe
$B_n \longrightarrow Aut(V^{\otimes n})$
qui envoie $σ i$ sur $β i$ .

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