- Caractere (mathematiques)
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Caractère (mathématiques)
Pour les articles homonymes, voir Caractère.En mathématiques, un caractère est une notion associée à la théorie des groupes.
Un caractère sur un groupe G, est un morphisme de G dans le groupe multiplicatif (C*,•) du corps des nombres complexes.
Les caractères permettent une généralisation de l'analyse harmonique à de nombreux groupes.
Sommaire
Définitions
Ici G désigne un groupe, C le corps des nombres complexes et C* son groupe des unités.
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- Un caractère de G est un morphisme de groupe de G dans C*.
Ils correspondent à un cas particulier de représentations, celles complexe de dimension un.
Un exemple d'un tel caractère en mathématiques est le caractère de Dirichlet.
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- Le groupe dual de G est l'ensemble des caractères du groupe munis de la multiplication des fonctions.
Si le groupe G est topologique, alors un caractère est par définition continu, si G est un groupe de Lie, alors un caractère est différentiable.
La notion de caractère se généralise aux structure d'algèbres (i.e. un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau).
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- Un caractère sur une algèbre est un morphisme d'algèbre (au sens de la structure d'espace vectoriel et de la structure multiplicative) de l'algèbre dans C.
Dans le cas où l'algèbre est l'algèbre d'un groupe, alors les deux notions sont équivalentes.
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- Un caractère d'une représentation est une notion associée aux représentations d'un groupe, elle correspond à la trace de l'image d'un élément du groupe par la représentation.
Groupe fini
Structure du groupe dual
Article détaillé : Caractère d'un groupe fini.Dans le cas d'un groupe fini, le groupe dual est aussi fini. Il s'identifie au caractères de l'algèbre du groupe complexe associé et forme une famille orthogonale incluse dans le centre de l'algèbre.
Si le groupe est de plus abélien, alors le groupe dual est isomorphe à G, les caractères forment alors une base orthonormale de l'algèbre.
Analyse harmonique sur un groupe abélien fini
Article détaillé : Analyse harmonique sur un groupe abélien fini.Dans le contexte d'un groupe abélien fini, la théorie de l'analyse harmonique est relativement simple à établir. La transformée de Fourier correspond à une somme finie et le groupe dual est isomorphe à G.
En conséquence, les résultats classiques comme l'égalité de Parseval, le théorème de Plancherel ou la formule sommatoire de Poisson s'appliquent.
Dualité de Pontryagin
Article détaillé : Dualité de Pontryagin.L'objectif de la théorie de la dualité de Pontryagin est la généralisation de l'analyse harmonique au cas où le groupe est abélien et localement compact.
Associée à la mesure de Haar introduite par John von Neumann, André Weil et d'autres, elle permet d'établir les principaux résultats associés à la transformée de Fourier.
Références
- Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
- J-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis.
- A. Warusfel Structures algébriques finies Hachette 1971
- G. Peyré L'algèbre discrète de la transformée de Fourier Ellipses Marketing 2004
- J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations Gauthier-Villars 1969
- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
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