Point adhérent

En topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x contienne au moins un élément de A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A.

La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.

Un point de E qui n'est pas adhérent à A est dit extérieur à A, il est intérieur à E\A.

Exemples

• Dans , 1 est adhérent à l'intervalle ]0,1[.
• Plus généralement, dans , la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble borné non vide sont adhérentes à cet ensemble.
• La limite d'une suite ou d'une fonction est adhérente à l'ensemble des valeurs prises par cette fonction.

Propriétés

• Tout élément de A est adhérent à A.
• Si la topologie de E est discrète, seuls les points de A sont adhérents à A.
• Si la topologie de E est grossière et si A est non vide, tout point de E est adhérent à A.

Point limite, point isolé, partie discrète

On dit qu'un point x de E est point limite de A si tout voisinage de x contient au moins un élément de A autre que x. Autrement dit, x est point limite de A si x est adhérent à A\{x}.

L'ensemble des points limites de A est noté A' et on l'appelle l'ensemble dérivé de A. Un point de l'adhérence A qui n'est pas dans A est automatiquement un point limite de A, donc

et A est fermé si et seulement s'il contient tous ses points limites.

Un point de A qui n'est pas un point limite de A est appelé point isolé de A.

Une partie dont tous les points sont isolés est appelée partie discrète. En effet, la topologie induite sur A par la topologie de E est discrète si et seulement si tout point de A est isolé.

Point d'accumulation

On dit qu'un point x de E est point d'accumulation de A si tout voisinage de x contient une infinité de points de A.

Tout point d'accumulation de A dans E est un point limite de A. La réciproque est vraie si E est un espace T1 et a fortiori s'il est séparé (espace T2), en particulier s'il est métrisable. Mais dans un espace topologique quelconque, A peut avoir des points limites qui ne sont pas points d'accumulation. Par exemple si E est un ensemble fini muni de la topologie grossière et si A est une partie non vide de E, tout point de E\A est point limite de A mais A ne possède pas de point d'accumulation dans E.

Caractérisation séquentielle

Si un point x de E est limite d'une suite d'éléments de A alors x est adhérent à A. La réciproque est vraie si E est métrisable (ou plus généralement si x admet un système fondamental de voisinages dénombrable). Dans un tel espace on a donc de même : x est point limite de A si et seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de A distincts de x.

De plus, dans un espace T1, rappelons que « point limite » est synonyme de « point d'accumulation » et remarquons que par ailleurs, un point est limite d'une suite d'éléments de A distincts de lui-même si et seulement s'il est limite d'une suite injective d'éléments de A. Dans un espace métrique on a donc : un point de E est point d'accumulation de A si et seulement s'il est limite d'une suite injective d'éléments de A.

Dans des espaces plus généraux, les suites ne fonctionnent plus, il est préférable d'utiliser les filtres ou les suites généralisées.

Voir aussi

• Valeur d'adhérence
• Frontière (topologie)
• Espace séquentiel
• Point d'accumulation

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