Espace de Hardy

Espace de Hardy

En analyse complexe, les espaces de Hardy sont des espaces particuliers de fonctions holomorphes sur le disque unité.

Lorsque f est une fonction harmonique définie sur le disque unité \mathbb D, il n'est pas toujours vrai que f se prolonge sur \partial\mathbb D. On aimerait savoir quand un tel prolongement existe.

Noyau de Poisson

Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle de \frac{1+z}{1-z}

Le noyau de Poisson Pr est un noyau sommable, c’est-à-dire qu'il vérifie les conditions suivantes:

  1. \int_{\mathbb T} P_r(e^{i\theta})\frac{\mathrm d\theta}{2\pi} = 1
  2. \int_{\mathbb T} |P_r(e^{i\theta})|\frac{\mathrm d\theta}{2\pi} < \infty
  3. \forall\delta\in]0,\pi[\qquad\int_{\delta<|z|<\pi} P_r(e^{i\theta})\frac{\mathrm d\theta}{2\pi}\to0 lorsque r\to 1

De plus, Pr(eiθ) = P(z) est une fonction harmonique. On peut montrer que tout noyau sommable Kn, vérifie la règle suivante :

\forall \epsilon >0, \exists N, n>N \Rightarrow ||K_n*f-f||_p < \epsilon dès que f \in L^p et 1\leq p < \infty .

Ainsi, si f\in L^p(\mathbb T), on a Δ(Pr * f) = (ΔPr) * f = 0 et h = p * f est une fonction harmonique dans le disque unité \mathbb D. La question à se poser est alors de savoir si la réciproque de ce résultat est vraie. Notamment, étant donné une fonction harmonique h, est-il toujours possible de trouver une fonction f telle que h = p * f ?

Théorème de représentation

Notons h^p(\mathbb D)=\{h\in har(\mathbb D), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \} . On a le théorème de représentation suivant :

f\in h^p(\mathbb D) \Leftrightarrow \exists f^* \in L^p(\mathbb T), P*f^*=f pour \infty\geq p>1

f\in h^1(\mathbb D) \Leftrightarrow \exists \mu \in M(\mathbb T)=C^0(\mathbb T)^*, P*\mu=f .

Le problème qui survient est que la « valeur au bord » d'une fonction f \in h^1, c’est-à-dire la limite dans L^p(\mathbb T) de Pr * f, n'est pas nécessairement une fonction, mais peut être une « vraie » mesure.

Par exemple, si f est le noyau de Poisson lui même, on a P * δ = P.

Ce problème ne survient pas lorsque les fonctions que l'on considère sont « un peu plus jolies » et notamment lorsqu'elles sont holomorphes.

Théorème de représentation pour les espaces de Hardy

Notons H^p(\mathbb D)=\{h\in H(\mathbb D), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \} . On a le théorème de représentation suivant :

f\in H^p(\mathbb D) \Leftrightarrow \exists f^* \in H^p(\mathbb T), P*f^*=f pour \infty\geq p \geq 1.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace de Hardy de Wikipédia en français (auteurs)

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