Formule de Newton-Cotes

Formule de Newton-Cotes

En analyse numérique, les formules de Newton-Cotes, du nom d'Isaac Newton et de Roger Cotes, servent au calcul numérique d'une intégrale sur un intervalle réel [a, \, b], ceci à l’aide d’une interpolation polynomiale de la fonction en des points répartis uniformément.

Sommaire

Méthodologie

La fonction f est évaluée en des points équidistants xi = a + iΔ, pour i = 0,...,n et Δ = (b − a) / n . La formule de degré n est définie ainsi :

\int_a^b f(x) \,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i\, f(x_i)

où les wi sont appelés les coefficients de quadrature- Ils se déduisent d'une base de polynômes de Lagrange et sont indépendants de la fonction f.

Plus précisément, si L(x) est l'interpolation lagrangienne aux points (x_i, \, f(x_i)), alors

\begin{align}\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b L(x)\,dx &= \int_a^b \sum_{i=0}^n f(x_i)\, l_i(x)\, dx\\ &=\sum_{i=0}^n \int_a^b f(x_i) l_i(x) dx\\ &=\sum_{i=0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x) dx}_{w_i}~.\end{align}

Instabilité

Bien qu’une formule de Newton-Cotes puisse être établie pour n'importe quel degré, elle peut conduire à une instabilité où la convergence n’est pas assurée lorsque le degré augmente. Ces manifestations proviennent du phénomène de Runge. Pour cette raison, il est préférable de se restreindre aux premiers degrés.

Premières formules de Newton-Cotes

Sur l'intervalle [a, \, b] de longueur D = b − a, les formules relatives aux premiers ordres sont résumées dans le tableau suivant :

Degré Nom commun Formule Terme d'erreur
0 Méthode du point médian D \, f_{1/2} \frac{D^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)
1 Méthode des trapèzes \frac{D}{2} (f_0 + f_1) -\frac{D^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)
2 Méthode de Simpson 1/3 \frac{D}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2) -\frac{D^5}{2880}\,f^{(4)}(\xi)
3 Méthode de Simpson 3/8   \frac{D}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) -\frac{D^5}{6480}\,f^{(4)}(\xi)
4 Méthode de Boole   \frac{D}{90} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) -\frac{D^7}{1935360}\,f^{(6)}(\xi)

Démonstration

Le polynôme L(x) interpolant f est caractérisé par :

L(x)=v_n(x) \sum_{i=0}^n \frac{y_i}{(x-x_i)v'_n(x_i)}

où v_n(x)=\prod^{n}_{j=0}(x-x_j). Ainsi

w_i=\int_a^b \frac{v_n(x)}{(x-x_i)v'_n(x_i)}dx

Le changement de variable y=\frac{x-a}{h} conduit à l'expression :

w_i= \frac{(b-a)}{n}\frac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!} \int_0^n \prod_{k=0,k \ne i}^n (y - k)dy

Application pour n = 1

\begin{matrix} w_0 &=& (b-a) \frac{(-1)^{1-0}}{0!(1-0)!} \int_0^1 \prod_{k=0,k \ne 0}^1 (y - k)dy \\ &=& -(b-a) \int_0^1(y-1)dy \\ &=& -(b-a) \left[ \frac{(y-1)^2}{2} \right]^1_0 \\ &=& \frac{b-a}{2} \end{matrix}
Idem pour w_1 = \frac{b-a}{2}

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