Algorithme du gradient

L'algorithme du gradient désigne un algorithme d'optimisation différentiable. Il est par conséquent destiné à minimiser une fonction réelle différentiable définie sur un espace euclidien (par exemple, $\mathbb{R}^n$ , l'espace des $n$ -uplets de nombres réels, muni d'un produit scalaire) ou, plus généralement, sur un espace hilbertien (de dimension infinie). L'algorithme est itératif et procède donc par améliorations successives. Au point courant, un déplacement est effectué dans la direction opposée au gradient, de manière à faire décroître la fonction. Le déplacement le long de cette direction est déterminé par la technique numérique connue sous le nom de recherche linéaire. Cette description montre que l'algorithme fait partie de la famille des algorithmes à directions de descente.

Les algorithmes d'optimisation sont généralement écrits pour minimiser une fonction. Si l'on désire maximiser une fonction $x\mapsto f(x)$ , il suffira de minimiser son opposée $x\mapsto -f(x)$ .

Il est important de garder à l'esprit le fait que le gradient, et donc la direction de déplacement, dépend du produit scalaire qui équipe l'espace hilbertien ; l'efficacité de l'algorithme dépend donc de ce produit scalaire.

L'algorithme du gradient est également connu sous le nom d'algorithme de la plus forte pente ou de la plus profonde descente (steepest descent, en anglais) parce que le gradient est la pente de la fonction linéarisée au point courant et est donc, localement, sa plus forte pente (une notion qui dépend du produit scalaire).

Dans sa version la plus simple, l'algorithme ne permet de trouver ou d'approcher qu'un point stationnaire (i.e., un point en lequel le gradient de la fonction à minimiser est nul) d'un problème d'optimisation sans contrainte. De tels points sont des minima globaux, si la fonction est convexe. Des extensions sont connues pour les problèmes avec contraintes simples, par exemple des contraintes de borne. Malgré des résultats de convergence théoriques satisfaisants, cet algorithme est généralement lent si le produit scalaire définissant le gradient ne varie pas avec le point courant de manière convenable, c'est-à-dire si l'espace vectoriel n'est pas muni d'une structure riemannienne appropriée, d'ailleurs difficilement spécifiable a priori. Il est donc franchement à déconseiller, même pour minimiser une fonction quadratique strictement convexe de deux variables. Toutefois, ses qualités théoriques font que l'algorithme sert de modèle à la famille des algorithmes à directions de descente ou de sauvegarde dans les algorithmes à régions de confiance.

Le principe de cet algorithme remonte au moins à Cauchy (1847)^[1].

Sommaire

1 L'algorithme
2 Résultats de convergence
- 2.1 Problèmes quadratiques
- 2.2 Problèmes non linéaires
3 Exemples
- 3.1 Minimisation d'une fonction de 2 variables
- 3.2 Maximisation d'une fonction de 2 variables
4 Points faibles, remèdes et extensions
5 Voir aussi
6 Annexes

L'algorithme

Soient $\mathbb{E}$ est un espace hilbertien (produit scalaire noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$ et norme associée notée $\|\cdot\|$ ) et $x\in\mathbb{E}\mapsto f(x)\in\mathbb{R}$ une fonction différentiable. On note $f'(x)$ et $\nabla f(x)$ la dérivée et le gradient de $f$ en $x,$ si bien que pour tout $d\in\mathbb{E}$ , $f'(x)\cdot d=\langle\nabla f(x),d\rangle$ .

Algorithme du gradient — On se donne un point/itéré initial $x_0\in\mathbb{E}$ et un seuil de tolérance $\varepsilon\geqslant 0$ . L'algorithme du gradient définit une suite d'itérés $x_1, x_2, \ldots \in\mathbb{E}$ , jusqu'à ce qu'un test d'arrêt soit satisfait. Il passe de $x k$ à $x k + 1$ par les étapes suivantes.

Simulation : calcul de $\nabla f(x_k)$ .
Test d'arrêt : si $\|\nabla f(x_k)\| \leqslant \varepsilon$ , arrêt.
Calcul du pas $α k > 0$ par une règle de recherche linéaire sur $f$ en $x k$ le long de la direction $-\nabla f(x_k)$ .
Nouvel itéré : $x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k).$

En pratique, il faudra prendre $ε > 0$ ; la valeur nulle de cette tolérance a été admise uniquement pour simplifier l'expression des résultats de convergence ci-dessous.

Cet algorithme structurellement très simple repose sur le fait que, dans le voisinage d'un point $x$ , la fonction $f$ décroît le plus fortement dans la direction opposée à celle du gradient de $f$ en $x$ , à savoir dans la direction $-\nabla f(x)$ . De manière plus précise, cette affirmation exprime en termes suggestifs le fait que, si $f'(x)\ne0$ , la solution du problème d'optimisation

$\min_{\|d\|=1}\,\langle\nabla f(x), d\rangle$

est la direction $d=-\nabla f(x)/\|\nabla f(x)\|$ (par l'inégalité de Cauchy-Schwarz la valeur optimale de ce problème est supérieure à $-\|\nabla f(x)\|$ , borne atteinte par la solution donnée), orientée donc vers l'opposé du gradient.

La notion de direction de plus forte pente est en fait mal définie car elle dépend fortement du produit scalaire que l'on se donne sur l'espace hilbertien $\mathbb{E}$ . En effet, si $\sigma:(u,v)\mapsto\sigma(u,v)$ est un autre produit scalaire sur $\mathbb{E}$ , il existe un opérateur linéaire continu $S:\mathbb{E}\to\mathbb{E}$ auto-adjoint et défini positif tel que $\sigma(u,v)=\langle Su,v\rangle,$ si bien que le gradient de $f$ en $x$ pour ce dernier produit scalaire s'écrit $S^{-1}\nabla f(x)$ , ce qui montre explicitement la dépendance du gradient par rapport au produit scalaire. Il n'y a donc pas une unique direction de plus forte pente, ce qui n'apparaît pas clairement dans l'affirmation faite au début du paragraphe précédent. On peut même dire que toute direction de descente de $f$ en $x$ , c'est-à-dire toute direction $d$ telle $f'(d)\cdot d<0$ , est l'opposé du gradient de $f$ en $x$ pour un certain produit scalaire. L'efficacité de l'algorithme du gradient dépendra donc du choix de ce produit scalaire.

Si $f'(x)\ne0$ , la direction $d=-\nabla f(x)$ est une direction de descente de $f$ en $x$ , puisque $f'(x)\cdot d=-\|\nabla f(x)\|^2<0$ , si bien que pour tout $α > 0$ assez petit, on a

$f(x-\alpha\nabla f(x))<f(x)$ .

Grâce à la recherche linéaire, tant que $f'(x_k)\ne0$ , l'algorithme fait décroître la fonction strictement à chaque itération:

$f (x k + 1) < f (x k).$

L'algorithme du gradient peut s'utiliser lorsque l'espace vectoriel sur lequel est définie la fonction à minimiser est de dimension infinie^[2]. Dans ce cas, l'algorithme n'est pas implémentable, mais son étude peut avoir un intérêt pour connaître son comportement en grande dimension ou pour en utiliser les propriétés de convergence à des fins théoriques.

L'algorithme du gradient peut s'interpréter comme la méthode d'Euler explicite de résolution de l'équation différentielle ordinaire $x'(\alpha)=-\nabla f(x(\alpha))$ (flot du gradient), avec un pas $α k$ de discrétisation adapté à l'itération $k$ courante par la recherche linéaire.

Résultats de convergence

Problèmes quadratiques

On considère dans un premier temps le cas où le critère est une fonction quadratique strictement convexe, définie sur un espace euclidien $\mathbb{E}$ (donc de dimension finie) :

$f:x\in\mathbb{E}\mapsto f(x):=\langle g,x\rangle+\frac{1}{2}\langle Hx,x\rangle,$

où $g\in\mathbb{E}$ et $H:\mathbb{E}\to\mathbb{E}$ est un opérateur auto-adjoint défini positif. Dans ce cas, l'algorithme du gradient avec recherche linéaire exacte (i.e., à chaque itération le critère est minimisé le long de la direction opposée au gradient) converge q-linéairement vers l'unique minimum du problème. De manière plus précise, on a le résultat de convergence suivant, qui utilise le conditionnement $\ell_2$ du hessien $H$ du critère $f$ , c'est-à-dire le rapport entre sa plus grande valeur propre $λ max (H)$ et sa plus petite valeur propre $λ min (H)$ ,

$\kappa_2:=\kappa_2(H):=\frac{\lambda_{\max}(H)}{\lambda_{\min}(H)},$

et la norme associée à $H$ qui est définie par

$v\in\mathbb{E}\mapsto\|v\|_H=\langle Hv,v\rangle^{1/2}.$

Convergence sur une fonction quadratique strictement convexe — Soit $f$ une fonction quadratique strictement convexe sur un espace eucidien, de hessien $H$ . Utilisé pour minimiser cette fonction, l'algorithme du gradient ci-dessus, avec $ε = 0$ et recherche linéaire exacte, génère une suite $\{x_k\}_{k\geqslant 1}$ convergeant q-linéairement vers l'unique minimum $x *$ de $f$ . Plus précisément, on a

$\forall\;k\geqslant 1:\qquad\|x_{k+1}-x_*\|_H\leqslant\left(\frac{\kappa_2-1}{\kappa_2+1}\right)\|x_k-x_*\|_H.$

Comme $\|x-x_*\|_H=2[f(x)-f(x_*)]$ , l'estimation de la vitesse de convergence ci-dessus s'applique aussi à la celle du critère $f (x)$ vers sa valeur optimale $f (x *)$ .

Ce résultat pourrait paraître attrayant et laisser penser que l'algorithme du gradient est une méthode performante. Il n'en est rien. D'une part, la convergence linéaire est une propriété relativement faible en optimisation différentiable, d'autant plus faible que le taux de convergence (ici $(κ 2 - 1) / (κ 2 + 1)$ ) est proche de 1. Cela se produit dans l'algorithme du gradient lorsque $κ 2$ est grand, c'est-à-dire pour les problèmes mal conditionnés. À l'inverse, lorsque $κ 2 = 1$ (i.e., le hessien est un multiple de l'identité), l'algorithme converge en 1 itération. On rappelle par ailleurs que pour minimiser une fonction quadratique strictement convexe, l'algorithme du gradient conjugué ou toute méthode directe de résolution du système linéaire associé trouve le minimum en un nombre fini d'opérations (en arithmétique exacte), alors que l'algorithme du gradient requiert en général un nombre infini d'itérations.

Problèmes non linéaires

Exemples

Minimisation d'une fonction de 2 variables

Algorithme du gradient sur une fonction de type bol (vue en plan avec courbes de niveaux).

L'évolution des itérés $x k$ au cours de l'algorithme est illustrée sur la figure de droite : $f$ est une fonction convexe de 2 variables (définie sur le plan $\mathbb{R}^2$ ) et son graphe représente une forme de bol. Chaque courbe bleue représente une courbe de niveau de $f$ , un lieu de points en lesquels $f$ vaut une constante donnée. Chaque vecteur rouge représente un déplacement $x k + 1 - x k$ , qui est orienté suivant l'opposé de la direction du gradient en $x k$ . Ici, le gradient en $x k$ est celui associé au produit scalaire euclidien, si bien qu'il est orthogonal (pour le produit scalaire euclidien) à la tangente en $x k$ à la courbe de niveau auquel $x k$ appartient. La figure illustre la progression des itérés vers le fond du bol, c'est-à-dire vers le point où la valeur de $f$ est minimale.

Maximisation d'une fonction de 2 variables

Application de la méthode de remontée de gradient à la fonction

$f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} y^2 + 3 \right) \cos(2 x+1-e^y)$

Vue en plan avec courbes de niveaux
Vue en trois dimensions

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Points faibles, remèdes et extensions

L'algorithme du gradient peut rencontrer un certain nombre de problèmes, en particulier celui de la convergence lorsque le minimum de la fonction se trouve au fond d'une vallée étroite (plus précisément lorsque le conditionnement de la matrice hessienne est élevée). Dans un tel cas, la suite des ${x k}$ oscille de part et d'autre de la vallée et progresse laborieusement, même lorsque les $α k$ sont choisis de sorte à minimiser $f (b)$ .

La figure ci-dessous illustre ce type de comportement pour une fonction de Rosenbrock à 2 dimensions.

Deux points faibles de l'algorithme du gradient sont :

L'algorithme peut nécessiter de nombreuses itérations pour converger vers un minimum local, notamment si la courbure est très différente dans des directions différentes.
La recherche du pas $α$ optimal, généralement effectuée par une recherche linéaire, peut se révéler très longue. Inversement, utiliser un pas $α$ fixe peut conduire à de mauvais résultats. Des méthodes comme la méthode de Newton et l'inversion de la matrice hessienne en complément des techniques de gradient conjugué offrent souvent de meilleurs résultats.

Un algorithme plus efficace est la méthode BFGS, qui consiste à calculer en chaque étape une matrice, qui multipliée au gradient permet d'obtenir une meilleure direction. De plus, cette méthode peut être combinée avec une méthode plus efficace de recherche linéaire afin d'obtenir la meilleure valeur de $α$ .

L'algorithme du gradient est mal défini pour minimiser des fonctions non lisses, même si elles sont convexes. Lorsque le critère est localement lipschitzien, et spécialement s'il est convexe, l'algorithme des faisceaux apporte un remède à l'absence de convergence^[3].

Voir aussi

Annexes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gradient descent » (voir la liste des auteurs)

Notes

↑ Augustin Cauchy, « Méthode générale pour la résolution des systèmes d’équations simultanées », dans Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, 1847, p. 536–538 [texte intégral]
↑ K. Ito, K. Kunisch (2008), Lagrange Multiplier Approach to Variational Problems and Applications, Advances in Design and Control, SIAM Publication, Philadelphia.
↑ K. C. Kiwiel (2001). Convergence and efficiency of subgradient methods for quasiconvex minimization. Mathematical Programming (Series A), 90, 1-25

Lien externe

J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris.

Ouvrages généraux

(en) Mordecai Avriel (2003). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Dover Publishing. ISBN 0-486-43227-0.
(en) D. P. Bertsekas (1995), Nonlinear Programming. Athena Scientific. ISBN 1-886529-14-0
(en) J. F. Bonnans, J. Ch. Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizábal (2006), Numerical Optimization - Theoretical and Numerical Aspects [détail des éditions]
(en) Jan A. Snyman (2005). Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization Theory and Classical and New Gradient-Based Algorithms. Springer Publishing. ISBN 0-387-24348-8

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