Variété pseudo-riemannienne

Variété pseudo-riemannienne

La géométrie pseudo-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l'étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les métriques euclidiennes. Cependant, cette géométrie présente des aspects non intuitifs des plus surprenants.

Définition formelle

Une métrique pseudo-riemannienne sur une variété différentielle M de dimension n est une famille g={gx} de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents TxM de signature constante (p,q). La donnée (M,g) est appelée variété pseudo-riemannienne. La géométrie pseudo-riemannienne est l'étude de ces structures, de leurs particularités et des relations qu'elles entretiennent entre elles.

Les variétés pseudo-riemanniennes représentent une classe importante de variétés différentielles, regroupant en particulier les variétés riemanniennes et les variétés lorentziennes :

  • Une variété pseudo-riemannienne est riemannienne lorsque la signature est (n,0) ou (0,n).
    Article détaillé : géométrie riemannienne.
  • Une métrique pseudoriemmannienne est dite lorentzienne lorsque la signature est (n-1,1) et (1,n-1).
    Article détaillé : géométrie lorentzienne.

Résultats

Comme en géométrie riemannienne, il existe une mesure naturelle v sur toute variété pseudo-riemannienne (M,g), localement donnée par l'unique forme volume valant 1 sur toute base pseudo-orthonormée. Si la variété est orientable, la forme volume est globalement définie.

De plus, il existe une unique connexion, appelée connexion de Levi-Civita, sans torsion, et métrique, au sens où, pour tous champs de vecteurs X, Y et Z, on a :

 Z\cdot g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_XZ)

Les géodésiques sont les courbes c vérifiant :

\nabla_{c'}c'=0

L'existence d'une connexion de Levi-Civita implique les conséquences de rigidité suivantes :

  • Une isométrie f d'une variété pseudo-riemannienne (M,g), fixant un point m, et telle que df(x) = Id, est l'identité.
  • Le groupe d'isométrie d'une variété pseudo-riemannienne de dimension n est un groupe de Lie de dimension finie, au plus n(n + 1) / 2. La classification des variétés pseudo-riemanniennes pour lesquelles l'égalité est vérifiée est connue.

Malheureusement, la norme d'un vecteur n'est pas définie. La particularité de la géométrie riemannienne est qu'elle est à la croisée des géométries pseudo-riemanniennes et des géométries de Finsler. Elle bénéficie donc d'une distance.

En particulier, la notion de complétude d'une variété pseudo-riemannienne se définit sur des propriétés dynamiques.

Une variété pseudo-riemannienne (M,g) est complète lorsque toutes ses géodésiques se définissent sur R ou, de manière équivalente, lorsque le flot géodésique est complet. L'un des miracles de la géométrie riemannienne est que la compacité implique la complétude. La situation est différente en géométrie pseudo-riemannienne : le théorème de Marsden donne des conditions supplémentaires pour obtenir la complétude.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Variété pseudo-riemannienne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Variete pseudo-riemannienne — Variété pseudo riemannienne La géométrie pseudo riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les… …   Wikipédia en Français

  • Variété pseudo-riemanienne — Variété pseudo riemannienne La géométrie pseudo riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les… …   Wikipédia en Français

  • Métrique pseudo-riemannienne — En mathématiques et en physique, une métrique pseudo riemannienne est une extension de la métrique riemannienne dans laquelle un certain nombre d axes de l espace qu elle décrit ont des normes négatives. Si la métrique pseudo riemanienne est en… …   Wikipédia en Français

  • Variété (géométrie) — Pour les articles homonymes, voir Variété. Réalisation du ruban de Möbius à partir du collage d une bande de papier. Le « bord » n est que d un seul tenant. En math …   Wikipédia en Français

  • Variete lorentzienne — Variété lorentzienne En géométrie différentielle, une variété lorentzienne est une variété différentielle M munie d une métrique pseudo riemannienne g de signature (n,1). Autrement dit, g est une section globale de , telle que gx soit une forme… …   Wikipédia en Français

  • Variété lorentzienne — En géométrie différentielle, une variété lorentzienne est une variété différentielle M munie d une métrique pseudo riemannienne g de signature (n,1). Autrement dit, g est une section globale de , telle que gx soit une forme bilinéaire de… …   Wikipédia en Français

  • Métrique riemannienne — En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La… …   Wikipédia en Français

  • Metrique riemannienne — Métrique riemannienne Les métriques riemanniennes sont les objets d étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même… …   Wikipédia en Français

  • Métrique Riemannienne — Les métriques riemanniennes sont les objets d étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie riemannienne — La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit le concept fondateur de variété. Elle étend les méthodes de la géométrie analytique en utilisant des… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”