- Métrique riemannienne
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En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie des résultats analogues.
Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives.
Sommaire
Définitions
- Sur un fibré vectoriel E→M, une métrique riemannienne g est la donnée d'un produit scalaire gx sur chaque fibre Ex qui dépende de manière lisse du point de base x variant dans M. Plus formellement, g↦gx est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel S2E→M des formes bilinéaires symétriques. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.
- Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g' ) sur M, un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)→(E,g' ) est un morphisme de fibrés vectoriels f:E→E' tel que, pour tout point x de M, l'application linéaire fx:Ex→Fx est une isométrie linéaire, c'est-à-dire :
- Si M est une variété différentielle, une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne sur son fibré tangent. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.
- Étant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g' ), une isométrie F:(M,g)→(N,g' ) est une application différentiable F:M→N telle que l'application tangente dF:(TM,g)→(TN,g' ) est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette dernière condition se réécrit : F*g'=g.
Exemples
- Tout produit scalaire < , > sur ℝn induit sur tout fibré vectoriel trivial M×ℝn→M une métrique riemannienne : gx((x,v),(x,w)) = < v,w > .
- Soient g une métrique riemannienne sur E→M et P une variété. Pour une fonction différentiable ψ:P→M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière (en) ψ*E→P une unique métrique riemannienne ψ*g telle que le morphisme naturel ψ*E→E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
- Si g est une métrique riemannienne sur E→M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel de E.
Existence
- Sur tout fibré vectoriel, il existe une métrique riemannienne.
Démonstrations-
- Preuve via une partition de l'unité.
Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel π-1(U)→U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne gU sur π-1(U).
En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable (Un)n∈ℕ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne gn sur le fibré vectoriel π-1(Un)→Un. Soit (ϕn)n∈ℕ une partition de l'unité subordonnée à (Un)n∈ℕ. L'application x↦ϕn(x)gn(x) est une section globale de S2π-1(Un)→Un nulle au voisinage de la frontière ∂Un. Elle se prolonge par 0 en une section globale de S2E→M, abusivement notée x↦ϕn(x)gn(x).
On pose alors :
.
.-
- Preuve via un plongement.
Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.
Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de F. Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité.
En particulier :
- Sur toute variété différentielle, il existe une métrique riemannienne.
Voir aussi
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