Variété abélienne de type CM

En mathématiques, une variété abélienne A définie sur un corps commutatif K est dite de type CM si elle possède un sous-anneau commutatif suffisamment grand dans son anneau d'endomorphisme End(A). La terminologie ici est issue de la théorie de la multiplication complexe, qui fut développée pour les courbes elliptiques dans le dix-neuvième siècle. Un des accomplissements majeurs dans la théorie algébrique des nombres et la géométrie algébrique du vingtième siècle fut de trouver les formulations correctes de la théorie correspondante pour les variétés abéliennes de dimension d > 1. Le problème est d'un niveau plus profond d'abstraction, parce qu'il est plus difficile de manipuler les fonctions analytiques à plusieurs variables complexes.

La définition formelle est la suivante :

End_Q(A),

le produit tensoriel de End(A) avec le corps des nombres rationnels , devrait contenir un sous-anneau commutatif de dimension 2d sur . Lorsque d = 1 ceci peut seulement être un corps quadratique, et on récupère les cas où End(A) est un ordre dans un corps imaginaire quadratique. Pour d > 1, il existe des cas comparables pour les corps CM, les extensions quadratiques complexes de corps totalement réels. Il existe d'autres cas qui reflètent que A peut ne pas être une variété abélienne simple (cela peut être un produit de courbes elliptiques, par exemple). Un autre nom pour les variétés abéliennes de type CM est les variétés abéliennes avec suffisamment de multiplications complexes.

Il est connu que si K est le corps des nombres complexes, alors tout A possède un corps de définition qui est en fait un corps de nombres. Les types possibles d'anneau d'endomorphisme ont été classés, comme les anneaux involutif (l'involution de Rosati), conduisant à une classification de variétés abéliennes de type CM. Pour construire de telles variétés dans le même style que pour les courbes elliptiques, en démarrant avec un réseau Λ dans C^d, on doit tenir compte des relations de Riemann de la théorie des variétés abéliennes.

Le type CM est une description de l'action d'un sous-anneau (maximal) commutatif L de End_Q(A) sur l'espace tangent de A en l'élément identité. La théorie spectrale d'une sorte simple applique, pour montrer que L agit via une base de vecteurs propres; en d'autres termes L possède une action qui est via les matrices diagonales sur les corps de vecteurs holomorphe sur A. Dans le cas simple, où L est lui-même un corps de nombres plutôt qu'un produit de certains corps de nombres, le type CM est alors une liste de produits tensoriels de corps de L. Il existe 2d de ceux-ci, apparaissant par paires de conjugués complexes; le type CM est un choix d'un sur chaque paire. Il est connu que tous les types CM de ce genre possibles peuvent être réalisés.

Les résultats basiques de Goro Shimura et Yutaka Taniyama calculent la fonction L de Hasse-Weil de A, en termes de type CM et une fonction L de Hecke avec le caractère de Hecke, ayant un type infini dérivée d'elle. Ceux-ci généralisent les résultats de Deuring pour le cas d'une courbe elliptique.

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