- Variété jacobienne
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En géométrie algébrique, la jacobienne d'une courbe C est une variété algébrique (en fait une variété abélienne) qui paramètrise les diviseurs de degré 0 sur C. C'est un objet fondamental pour l'étude des courbes, et c'est aussi un exemple 'concret' de variété abélienne qui sert de variété test.
Sommaire
Définition
On fixe une courbe algébrique projective lisse C de genre au moins 1 sur un corps k. Dans une première approximation, on peut dire que sa jacobienne J est une variété algébrique dont les points correspondent aux diviseurs de degré 0 sur C modulo équivalence rationnelle. Comme ces derniers forment naturellement un groupe, J est même un groupe algébrique.
De façon rigoureuse: on considère le foncteur de Picard (faisceautisé) PicC / k. Ce foncteur est représentable par un schéma en groupes lisse localement de type fini. La composante connexe de l'élément neutre, notée
est appelée la jacobienne de C.
On montre que J est une variété abélienne.
On note par Pic0(C) le groupe des diviseurs de degré 0 sur C modulo équivalence rationnelle. Par construction, on a un homomorphisme de groupes injectif
dont le conoyau est un sous-groupe du groupe de Brauer de k. Suppposons pour simplifier que C admet un point rationnel P. Alors l'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. En particulier, sur la clôture algébrique
de k, on a toujours un isomorphisme de groupes
Exemple Si C est une courbe de genre 1, alors J est une courbe elliptique, isomorphe à C comme variétés algébriques si C admet un point rationnel.
Propriétés
- J est une variété abélienne de dimension g si g = g(C) est le genre de C.
- Si C possède un point rationnel P, alors on a une immersion fermée
qui envoie P sur 0 (élément neutre de J) et tout point rationnel Q sur la classe du diviseur de degré 0 Q − P dans Pic0(C). De plus tout morphisme
dans une variété abélienne A qui envoie P sur 0 se factorise en
et un morphisme de variétés abéliennes
.
- Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif r, il existe un morphisme
du produit symétrique C(r) (le quotient de Cr par le groupe symétrique Sr opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne. Ensemblistement, fr envoie une somme
de r points rationnels sur la classe du diviseur
. Le morphisme fg est birationnel. L'image de fr − 1 est un diviseur dans J, appelé diviseur théta θ.
- Le diviseur θ induit un isomorphe de J avec sa variété abélienne duale. On dit que J est autoduale.
- Toute variété abélienne est un quotient d'une jacobienne.
Théorème de Torelli
Références
J. Milne: Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry. ed. Cornell, Silverman, Springer-Verlag.
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