Variété jacobienne

Variété jacobienne

En géométrie algébrique, la jacobienne d'une courbe C est une variété algébrique (en fait une variété abélienne) qui paramètrise les diviseurs de degré 0 sur C. C'est un objet fondamental pour l'étude des courbes, et c'est aussi un exemple 'concret' de variété abélienne qui sert de variété test.

Sommaire

Définition

On fixe une courbe algébrique projective lisse C de genre au moins 1 sur un corps k. Dans une première approximation, on peut dire que sa jacobienne J est une variété algébrique dont les points correspondent aux diviseurs de degré 0 sur C modulo équivalence rationnelle. Comme ces derniers forment naturellement un groupe, J est même un groupe algébrique.

De façon rigoureuse: on considère le foncteur de Picard (faisceautisé) PicC / k. Ce foncteur est représentable par un schéma en groupes lisse localement de type fini. La composante connexe de l'élément neutre, notée \mathrm{Pic}^0_{C/k} est appelée la jacobienne de C.

On montre que J est une variété abélienne.

On note par Pic0(C) le groupe des diviseurs de degré 0 sur C modulo équivalence rationnelle. Par construction, on a un homomorphisme de groupes injectif

\mathrm{Pic}^0(C) \hookrightarrow J(k)

dont le conoyau est un sous-groupe du groupe de Brauer de k. Suppposons pour simplifier que C admet un point rationnel P. Alors l'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. En particulier, sur la clôture algébrique \bar{k} de k, on a toujours un isomorphisme de groupes \mathrm{Pic}^0(C_{\bar{k}}) \to J(\bar{k}).

Exemple Si C est une courbe de genre 1, alors J est une courbe elliptique, isomorphe à C comme variétés algébriques si C admet un point rationnel.

Propriétés

  • J est une variété abélienne de dimension g si g = g(C) est le genre de C.
  • Si C possède un point rationnel P, alors on a une immersion fermée i: C\to J qui envoie P sur 0 (élément neutre de J) et tout point rationnel Q sur la classe du diviseur de degré 0 Q − P dans Pic0(C). De plus tout morphisme C\to A dans une variété abélienne A qui envoie P sur 0 se factorise en i: C\to J et un morphisme de variétés abéliennes J\to A.
  • Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif r, il existe un morphisme f_r : C^{(r)}\to J du produit symétrique C(r) (le quotient de Cr par le groupe symétrique Sr opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne. Ensemblistement, fr envoie une somme x_1+\ldots+x_r de r points rationnels sur la classe du diviseur (x_1+\ldots+x_r)-rP. Le morphisme fg est birationnel. L'image de fr − 1 est un diviseur dans J, appelé diviseur théta θ.
  • Le diviseur θ induit un isomorphe de J avec sa variété abélienne duale. On dit que J est autoduale.
  • Toute variété abélienne est un quotient d'une jacobienne.

Théorème de Torelli

Article détaillé : théorème de Torelli (en).

Références

J. Milne: Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry. ed. Cornell, Silverman, Springer-Verlag.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Variété jacobienne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Variete abelienne — Variété abélienne En mathématiques, une variété abélienne A est, grosso modo, un groupe algébrique projectif. La projectivité (l équivalent de compacité pour les variétés différentielles ou analytiques) donne une certaine rigidité à la strucutre …   Wikipédia en Français

  • Variété abélienne — En mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et en analyse complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de « projectivité » est l équivalent de… …   Wikipédia en Français

  • Variété algébrique non singulière — Une variété algébrique non singulière (ou lisse) est une variété dépourvue de point singulier. C est le cadre naturel de nombre de théorèmes fondamentaux en géométrie algébrique. Définition On dit qu une variété algébrique X est régulière lorsque …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Charles Gustave Jacob Jacobi — Pour les articles homonymes, voir Jacobi. Charles Gustave Jacob Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi (Carl Gustav Jakob Jacobi) Naissance …   Wikipédia en Français

  • Oscar Zariski — Naissance 24 avril 1899 Kobrin (  Em …   Wikipédia en Français

  • Conditions d'optimalité (dimension finie) — En optimisation mathématique, les conditions d optimalité sont un ensemble d équations, d inéquations (i.e., des inégalités) et d expressions diverses (e.g., la semi définie positivité de matrices sur des cônes) vérifiées par une solution d un… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie différentielle des surfaces — En mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie algébrique — La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s est d abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des… …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE — Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l’algèbre relativement récente (cf. ALGÈBRE, DEDEKIND). Pour «comprendre» les phénomènes d’intersection des courbes et des surfaces, il s’est révélé nécessaire d’élaborer des… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”