Toriccelli

Torricelli inventant le baromètre à mercure

Evangelista Torricelli (né le 15 octobre 1608 à Faenza, en Émilie-Romagne - mort le 25 octobre 1647 à Florence) est un physicien et un mathématicien italien du XVII^e siècle.

Biographie

Evangelista Torricelli commença ses études dans sa ville natale, Faenza. Remarqué pour ses dons par les Jésuites, il fut envoyé à Rome. Dès 1626, il devient l'élève de Benedetto Castelli, ami fidèle de Galilée et auteur d'un travail d'hydraulique, en 1628, très au courant des travaux de Galilée. Rappelons qu'en 1632, le Dialoguo de Galilée paraît et suscite un grand émoi à Rome ; il vaut à son auteur son célèbre procès et son abjuration, le 22 juin 1633.

En avril 1641, Castelli, rend visite à Galilée, déjà aveugle, dans sa villa d'Arcetri, près de Florence. Il lui apporte un traité de Torricelli : le de Motu de 1641. Une correspondance va s'établir entre Galilée et Torricelli, Galilée invitant ce dernier à venir l'aider. Torricelli, sans doute inquiet par la condamnation de Galilée, ne se rendra à Arcetri qu'au mois d'Octobre.

A la mort de Galilée le 6 janvier 1642, Ferdinand II de Médicis, l'invite à rester à Florence en tant que mathématicien du Grand-duc de Toscane, ce qui le libère de tout souci matériel. Il est élu à l'Accademia della Crusca , académie dont l'objectif est de purifier le langage comme on dégage le son de la mouture de blé. Cette élection le porte à examiner les arts plus que les mathématiques, ce qui lui vaut remontrances de ses amis, Bonaventura Cavalieri et les élèves de Castelli, Raffaello Magiotti et Nardi.

Torricelli est à l'acmé de sa carrière en 1644 : publication des Opera Geometrica, découverte du vide « grosso » via le baromètre à mercure.

En 1647, à 39 ans, en pleine activité scientifique, la typhoïde l'emporte.

Beaucoup de ses travaux furent perdus ou publiés très tardivement, ce qui a amoindri son influence et sa renommée. On lui doit cependant :

• le « tube barométrique de Torricelli » en hydrostatique : P = ρgH
• la Formule de Torricelli en hydraulique : .

Son œuvre mathématique est pourtant considérable.

Torricelli et le baromètre (1644)

Baromètre à mercure de Torricelli

Torricelli est connu pour avoir mis en évidence, en 1644, la pression atmosphérique, en étudiant la pompe à eau de Galilée, ce qui lui permit d'inventer le baromètre à tube de mercure qui porte son nom. Une unité de pression, le torr, lui est dédiée. Elle correspond à la pression d'un millimètre de mercure. [Mais c'est le pascal qui fut retenu comme unité du système international en hommage à Blaise Pascal, qui poursuivit et développa les recherches dans ce domaine (1646-1648)].

Torricelli n'a jamais rien publié sur ce sujet, ni même revendiqué la priorité. Et Blaise Pascal, dans ses travaux, ne cite pas une fois Torricelli, mais, en 1651, déclare avoir refait en 1646-1648, une expérience faite en Italie en 1644.

Il est vraisemblable que Torricelli a toujours voulu s'éloigner des démêlés avec l'Inquisition. Michelangelo Ricci lui écrit de Rome, le 18 juin 1644 : « Je crois que vous êtes déjà assez dégoûté par l'opinion inconsidérée des théologiens et par leur habitude de mêler constamment et immédiatement les choses de Dieu aux raisonnements concernant la nature. » Or les jésuites, en particulier Niccolò Zucchi, excluent le fait qu'il y ait vide dans la chambre barométrique : pour Constantini (Baliani e i Gesuiti, Firenze, 1969), c'est pour éviter un nouveau conflit avec les mathématiciens. Ceci pourrait expliquer le silence de Torricelli sur le sujet.

Origine du problème

Ce problème correspond à une considération très pratique : depuis longtemps l'approvisionnement en eau des villes a convaincu les fontainiers que les siphons dysfonctionnent à 18 brasses (soit 10,3 m). Le plâtre permettait d'élever la hauteur de la colonne d'eau, mais sans qu'on sache pourquoi.

Galilée, en 1590, est opposé à l'idée du vide « grosso », mais sous l'influence de Jean-Baptiste Baliani concéda le vide entre molécules dans l'eau, enfin se résolut au vide « grosso » vers 1635.

Baliani en 1630 a la vision juste : La Nature n'a pas horreur du vide, seule la pression de l'air équilibre la pression de la colonne d'eau :

P = ρgh

où P est la pression, ρ est la masse volumique du liquide en kg.m ^{− 3}, g l'attraction de la pesanteur en m.s ^{− 2} et h hauteur en m en notation moderne. Et la pression de l'air est à évaluer par le « poids de l'air » à ses différents degré de ténuité.

En 1630, Galilée émet l'hypothèse que la cohésion de la corde d'eau est assurée par la résistance du vide intramoléculaire : trop haute, la corde casse sous son propre poids. Argumentation fausse reprise dans le Discorso. Remarque : on sait actuellement que la « pression interne de l'eau » est supérieure à 1000 bars !

Mersenne et Isaac Beeckman en discutent en 1628. Mersenne écrit à Galilée vers 1640 pour lui demander l'explication de la résistance à l'écartement de 2 lames de verre superposées.

En Italie, à Rome, Benedetto Castelli et Raffaello Magiotti décident d'étudier le problème des fontainiers ; Antonio Nardi, Gasparo Berti et Michelangelo Ricci aussi, avec le minime Emmanuel Maignan (partisan du vide grosso) et les Jésuites Niccolò Zucchi et Kircher (opposés au vide grosso, pour des raisons théologiques) : Berti réussit et le montre aux Romains (avant fin 1641) : l'eau ne monte qu'à 10,3 m. Mais au-dessus, qu'y a-t-il ?

Contribution de Torricelli

Adoptant l'idée de Baliani, Torricelli a pour contribution essentielle celle de proposer le mercure de densité 13,6, qui devrait donc donner une hauteur de 10,3/13,6 = 0,76 m.

Expérience que Viviani réalise dans le courant du printemps 1644 :

• Réaliser la cuve et la remplir de vif-argent
• Prendre un ballon à long col (d'environ 1m)
• Le remplir à ras-bord
• Boucher avec le pouce et retourner sur la cuve
• Enlever le pouce

Le vif-argent s'écoule jusqu'à une hauteur de 76 cm, quel que soit le type de ballon ou son inclinaison. Par ailleurs, si de l'eau est versée sur le mercure, et qu'on retire le tube jusqu'à l'eau, celle-ci est « aspirée avec horrible violence. »

Le 11 juin 1644, Torricelli fait l'analyse critique de cette expérience avec Ricci : La nature n'a aucune horreur du vide. Le vide n'aspire pas : on peut à volonté faire coulisser le tube et réduire la chambre barométrique.

Il n'y a aucun effet « sauf si on chauffe ». Il est donc, semble-t-il, impossible de réaliser un baromètre. Mais à cette époque, le verre n'était sans doute pas dégazé, et il devait s'établir une légère pression d'air dans la chambre. Peut-être aussi y restait-il de la vapeur d'eau des expériences antérieures.

Après 1644

Lezioni accademiche (1715)

Mersenne tenta vainement (il faut avoir un tube de verre qui ne casse pas). Et ce furent les expériences de 1646-1648 de Petit, Florin Périer et Pascal qui résolvent magistralement le problème avec la montée au Puy de Dôme, que Mersenne ne vit pas car il meurt en 1648.

Le baromètre est né.

Qui le premier fit le calcul de la masse de l'atmosphère ? Soit la masse d'une couche de mercure de 0,76 m sur toute la surface de la Terre :

, avec S = aire de la surface de la Terre = 4πR²

En tout cas, ce n'est pas dans les papiers de Torricelli, ni dans ceux de Baliani.

Torricelli hydraulicien, élève de Castelli

Le De Motu Aquarum fait partie du traité de 1644, Opera Geometrica, et il y est énoncé la loi de Torricelli. Sa traduction eut lieu en France, à l'intention de Fermat, en 1664, précédée de l'ouvrage de Castelli, sur les eaux courantes, et d'un discours sur la jonction des Mers. (Rappel : ce discours, qui doit dater des années 1630, hantera Pierre-Paul Riquet (1609-1680) dès sa jeunesse.)

est ainsi la formule qui fait connaître Torricelli dans le monde de l'hydraulique. Elle relie la vitesse v d'écoulement d'un liquide par l'orifice d'un récipient à la hauteur h de liquide contenu dans le récipient au-dessus de l'orifice, g étant l'accélération de la pesanteur.

Des doutes existent néanmoins sur la paternité de cette loi attribuée à Torricelli, certains de ses contemporains ayant énoncé également des résultats similaires.

Torricelli, élève de Cavalieri

Torricelli, grand admirateur de Cavalieri, dépassa le maître dans l'utilisation de la méthode des indivisibles, car pour la première fois, il va considérer des quantités homogènes : en sommant de « petites » aires, on obtient une aire, etc. La largeur des lignes vient résoudre les paradoxes de Cavalieri.

Torricelli et les indivisibles

Cavalieri est sans doute le premier à démontrer, à l'aide des indivisibles, que l’aire sous la courbe d'équation y = x^{n − 1} entre les points d'abscisses x₁ et x₂ est

pour n entier supérieur à 1.

Fermat généralise cette relation pour n rationnel positif supérieur à 1 et n entier inférieur strictement à -1 en utilisant des séries.

Torricelli va généraliser le travail des indivisibles de Cavalieri à ce que la thermodynamique actuelle appelle un processus polytropique :

Soit PVⁿ=cste,

C'est le cas dit « hyperbolique » (avec n différent de 1 ; le cas n = 1 ne pourra s'obtenir qu'en utilisant les logarithmes)

Appelons A₁ et A₂ les deux points sur la courbe polytropique, B₁ et B₂ leur abscisse ; C₁ et C₂ leur ordonnée. Le tour de force de Torricelli est de comparer les aires des trapèzes curvilignes S₁ = aire(A₁B₁B₂A₂) et S₂ = aire(A₁C₁C₂A₂). Il démontre que S₂ = nS₁. Ensuite il lui suffit de faire la différence des deux aires

S₁ − S₂ = − (n − 1)S₁

S₁ − S₂ = aire(OB₂A₂C₂) − aire(OA₁C₁) = P₂V₂ − P₁V₁

d'où

Pour démontrer l'égalité : S₂ = nS₁, Torricelli compare les aires des gnomons y.dx et x.dy. De nos jours, le calcul se fait aisément en différentiant PVⁿ

VⁿdP + nPV^{n − 1}dV = 0 d'où VdP = − nPdV

Mais le dire en 1646 reste un tour de force. Ce que vient de découvrir Torricelli, c'est que, dans cette figure infinitésimale, les aires des gnomons y.dx et x.dy sont à considérer et ce sont ces aires que l'on somme : il faut donc considérer les épaisseurs des « lignes de Cavalieri. »

Pour les volumes de révolution, il comprit aussi que les rondelles de salami ont un volume, et qu'il faut donc sommer les volumes infinitésimaux.

Il redémontre, grâce aux indivisibles, la célèbre relation d'Archimède, inscrite sur sa tombe, concernant le volume du bol (S) hémisphérique, celui du cylindre droit (D) de même rayon r et de hauteur r et celui du cône de révolution de rayon r et de hauteur r :

Il est également l'inventeur de la trompette de Gabriel, une figure géométrique qui présente la particularité étonnante de posséder une surface infinie mais un volume fini. C'est le résultat de la rotation d'une partie de l'hyperbole équilatère y=1/x, pour x>1, autour de l'axe (Ox).

Il démontre aussi la formule du volume du tonneau ou formule des trois niveaux (lettre à Roberval 1643):

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en 2 niveaux z₁ et z₂. Soit z₂ − z₁ = h. Soit S₁ l'aire du disque de cote z₁, S₂ celle du disque de cote z₂, S_m l'aire du disque de cote moyenne alors

Il en déduit le volume du rond de serviette :

Soit une sphère de rayon R. Ôter par perçage le cylindre, centré, vertical, de base circulaire, ce qui ne laisse qu'un volume annulaire, appelé vulgairement « rond de serviette », de hauteur 2h.

Ce volume se calcule en ôtant au volume du tonneau de hauteur 2h le cylindre de rayon . On peut remarquer que ce résultat est indépendant du rayon R de la sphère de départ et ne dépend que de la hauteur h du rond de serviette (pour R > h)

Calcul des barycentres

Torricelli s'intéresse aussi au barycentre des solides étudiés. Ainsi, dans la même lettre adressée à Roberval, précise-t-il la position du centre de gravité du tonneau :

Soit un solide de révolution de méridienne une conique. Coupons-le en deux niveaux z₁ et z₂ et notons h = z₂ − z₁. Soit S₁ l'aire du disque de cote z₁, S₂ celle du disque de cote z₂, S_m l'aire du disque de cote moyenne alors le centre de gravité G a pour cote z_G telle que :

Enfin, généralisant une coupe de pierre en biseau que lui avait proposée Cavalieri, il publie le 7 avril 1646, la formule pour le centre de gravité (réécrite en notation moderne) :

Soit x = f(z) l'équation de la méridienne d'une surface de révolution, limitée par les plans z = a et z = b. Alors le barycentre de la surface méridienne a pour cote z_G vérifiant

Et le barycentre G' du volume a pour cote z_G' vérifiant

Torricelli avait-il connu les théorèmes de Guldin de 1643 ? En tout cas, leurs recherches se complétaient.

Torricelli cinématicien, élève de Galilée

La cycloïde

Admirateur de Galilée, élève doué de Cavalieri, il va poursuivre des idées qui existaient déjà chez Roberval.
Jean Itard (historien du Centre Koyré, Paris) a minutieusement mené l'enquête au sujet de la quadrature de la cycloïde :
Galilée aurait répondu qu'il avait vainement cherché, y compris en découpant un patron en carton et en le pesant. La compétition Roberval-Torricelli est plus serrée, et il est difficile d'y voir clair, car à l'époque, on déclarait avoir trouvé, mais on ne publiait pas, de peur que l'autre vous double : les questions de priorité seront le cauchemar du XVIIe.
Mais le résultat de l'enquête est là : priorité à Roberval, sans méconnaître les mérites de Torricelli.cf. cycloïde.

Diagramme horaire

En revanche, il est vraiment l'inventeur du diagramme horaire et du diagramme des espaces : il dit très clairement en toute généralité, puis sur des exemples simples, que si la vitesse du mobile est v(t), son abscisse sera , dans nos notations modernes qui datent de Leibniz (Lettre à Oldenburg du 29 oct 1675).

Et réciproquement, Torricelli parle du « théorème d'inversion »: si on possède x(t), la « tangente » donnera la vitesse :

,

où TT₁ est la sous-tangente, T est le point de l'axe des abscisses d'abscisse t, T₁ est le point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse t avec l'axe des abscisses.

Il en est donc au même niveau que Barrow en Angleterre. En tout cas, James Gregory, élève à Bologne, avec les continuateurs de l'œuvre de Cavalieri, sut en profiter.

Diagramme des espaces : la formule ne lui fait plus peur, alors que Galilée hésitait, ne voulant pas utiliser les travaux de Cavalieri.

Parabole de sûreté

• Voir article détailé : Parabole de sûreté

C'est lui qui, pour la première fois invente la notion d'enveloppe, et trouve la solution complète de la chute libre « avec violence », et la description complète de la parabole de sûreté, via une méthode peu connue.
Malheureusement, il ne compléta pas son travail : sans introduction de la résistance de l'air, la notion d'asymptote (cf. balistique extérieure) n'existe pas ; et son travail est la risée des artilleurs (les bombardieri).

Coordonnées polaires

Par ailleurs, par sa méthode des indivisibles courbes, il va pouvoir traiter les problèmes de courbes en coordonnées polaires, à une époque où Descartes venait tout juste de parler de coordonnées cartésiennes : il sait intégrer l'aire et la longueur des spirales r = θ^k ; mais surtout, il va découvrir la cochlée (cf. spirale logarithmique) et ses propriétés extraordinaires (Opere, III, p 368, p 477, Lettres à Ricci de 1646 et à Cavalieri(1598-1647)):

Soit une spirale logarithmique, l'arc issu de M s'enroule une infinité de fois autour de O mais sa mesure est finie : tracer la tangente en M. Y placer le point C de manière que le triangle OCM soit isocèle.
L'arc mesure OC+ CM.
L'aire balayée par OM est égale à l'aire du triangle OCM.
Bernoulli n'aurait pas dit mieux.

Torricelli, dynamicien ?

Il est encore bien tôt, avant 1647, de parler de dynamique. Néanmoins, quelqu'un étudiant la proto-dynamique serait certainement intéressé par l'évolution du concept de percussion depuis Galilée vers 1590 jusqu'aux leçons de Torricelli en 1644-1646 à l'Academia del Crusco. Un spécialiste y trouverait des phrases troublantes du type :

« La gravité est une fontaine d'où jaillissent continuellement des quantités de mouvement... Elles se conserveront et s'agrègeront ; quand le grave vient donner la percussion sur le marbre, il n'applique plus sa charge de 100 livres, fille d'un seul instant, mais les forces omnes(sommées) filles de dix instants. »

Si on remplaçait le mot instant par durée, ce texte serait d'une incroyable modernité.

Tragique destin

Le 5 octobre 1647, il écrivit à Cavalieri : « Je vais écrire un livre sur « des lignes nouvelles ». » Le 25, une typhoïde l'emportait. Et Cavalieri meurt peu après. Qui récupère ce « fatras d'idées » ? Une cassette, la fameuse cassette, léguée à Serenai ? Cette cassette contiendrait aussi la recette de fabrication de très bons verres d'optique : Torricelli en était un des maîtres.

John Wallis et Jacques Bernoulli se seraient régalés d'un tel trésor. Les recherches de filiation seront sans doute à chercher, soit vers l'école des Minimes (Mersenne ?), soit vers Stefano degli Angeli et son élève James Gregory, mais il est clair que cette mort prématurée et le travail de l'Inquisition vont affaiblir l'école italienne. Florence resta active ; néanmoins la flamme va passer dans une Angleterre florissante (Gregory, Wallis, Barrow), alors que Venise doit compter ses sous, pour sa guerre contre les Ottomans, et que l'Allemagne vient d'être ravagée par la guerre de Trente Ans (1618-1648).

Si héritage et continuation il y a, c'est peut-être chez Christiaan Huygens (1629-1695) qu'il faut chercher. Adolescent comblé (il est le fils de Constantijn Huygens, premier ministre de Hollande), il reçut de Mersenne, qui le connaissait via Descartes, maints problèmes transmis par Torricelli, qui lui servirent d'apprentissage dès l'âge de 16 ans (1645).

Voir aussi

Articles connexes

• Formule de Torricelli
• Principe de Torricelli
• Mathématiques en Europe au XVII^e siècle

Lien externe

• La trompette de Gabriel

Sources

• De Gandt (François), éd., L'œuvre de Torricelli. Science galiléenne et nouvelle géométrie . Nice, Publication de la Faculté des Lettres et sciences humaines / Paris, les Belles lettres, 1987. ISBN 2-251-62032-X.
• De Waard, L'expérience barométrique, Thouars 1936.
• Fanton d'Andon (Jean-Pierre), L'Horreur du vide. Paris, CNRS 1978. ISBN 2-222-02355-6.
• Michel Blay, in F. de Gandt : L'Œuvre de Torricelli (Nice 1987).
• Mersenne : Opera (en particulier le voyage en Italie 1644-1645).

Bibliographie

• Nardi (A.), Théorème de Torricelli ou théorème de Mersenne, in : Études philosophiques 1-2 (Paris 1994), p. 87-118.
• Souffrin (Pierre), Galilée, Torricelli et la loi fondamentale de la dynamique scolastique : la proportionnalite velocitas-momentum revisitee, in : Sciences et techniques en perspectives 25 (1993. ISSN 0294-0264), p. 122-134.
• De Gandt (François), éd., L'œuvre de Torricelli. Science galiléenne et nouvelle géométrie . Nice, Publication de la Faculté des Lettres et sciences humaines / Paris, les Belles lettres, 1987. (ISBN 2-251-62032-X).
• De Gandt (François), Naissance et métamorphose d'une théorie mathématique : la géometrie des indivisibles en Italie (Galilee, Cavalieri, Torricelli), in : Sciences et techniques en perspectives 9 (1984-1985. (ISSN 0294-0264)), p. 179-229.

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