Théorème de la limite monotone

Théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone est un théorème d'analyse, la branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Sommaire

Énoncé pour les fonctions

Soient ]a,b[ un intervalle réel ouvert non vide, borné ou non :

-\infty\le a<b\le+\infty

et

f~:~]a,b[\to\R

une fonction croissante. Alors :

  • f admet en tout point x0 de ]a,b[ une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement \scriptstyle f(x_0^+) et \scriptstyle f(x_0^-) ; elles vérifient la double inégalité
    f(x_0^-)\le f(x_0)\le f(x_0^+).
  • f admet en b une limite, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon.
  • f admet en a une limite, qui est finie si f est minorée et qui vaut -∞ sinon.
(théorème analogue pour les fonctions décroissantes, se déduisant immédiatement du précédent en remplaçant f par − f : il convient d'inverser le sens des inégalités larges, d'échanger minorée et majorée ainsi que +∞ et -∞).
Démonstration

Montrons le résultat en b, les autres cas s'en déduisent immédiatement. Notons A = f(]a,b[). Si f est majorée, l'ensemble A (non vide et majoré), possède dans ℝ une borne supérieure que nous notons M. Si f n'est pas majorée, posons M = +∞. Autrement dit (dans les deux cas), M est le plus petit majorant de A dans ℝ∪{+∞}. Pour prouver que la limite de f en b est bien M, il suffit (dans les quatre situations[4 en 1] : que b soit fini ou +∞ et que M soit fini ou +∞) de démontrer que pour tout m < M, il existe xm∊]a,b[ tel que :

\forall x\in[x_m,b[,\quad f(x)\in]m,M].

Soit donc m < M. Par définition de M, le réel m n'est pas un majorant de A. Il existe donc un élément xm∊]a,b[ tel que f(xm) > m. Par croissance de f, on obtient ainsi :

\forall x\in[x_m,b[,\quad f(x)>m.

D'autre part, tous les x∊]a,b[ vérifient f(x) ≤ M.

On obtient donc bien l'encadrement de f(x) voulu, pour tout x∊[xm,b[.

  1. ↑ En effet, si cette propriété – dont l'avantage est de traiter les quatre situations simultanément – est vérifiée, la définition de la limite, dans chacune de ces situations, le sera aussi.

Énoncé pour les suites

Soit u=\left(u_n\right)_{n\in\N} une suite croissante de réels.

  • Si la suite est majorée alors elle est convergente.
  • Si la suite n'est pas majorée alors elle admet +∞ pour limite.
(théorème analogue pour les suites décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant u par − u).
Démonstration
La démonstration est analogue à celle pour les fonctions : notons A l'ensemble des termes de la suite et M sa borne supérieure s'il est majoré, et s'il ne l'est pas \scriptstyle M=+\infty. Pour tout m < M, le réel m n'est pas un majorant de A. Il existe donc un entier Nm tel que \scriptstyle u_{N_m}>m. Comme la suite est croissante, on aura
\forall n\ge N_m,\quad M\ge u_n>m,
ce qui prouve que la suite (un) converge vers M.

Voir aussi

Articles connexes


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