Théorème de la limite simple de Baire

Théorème de la limite simple de Baire

En mathématiques, le théorème de la limite simple de Baire est un surprenant résultat d'analyse sur la continuité d'une limite simple d'une suite de fonctions continues. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français René Baire. C'est une conséquence de la propriété de Baire.

Sommaire

Énoncé

Soit (fn) une suite de fonctions continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. Si elle converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de réels.

Démonstration

Pour tous entiers positifs n et k, on pose

F_{n,k} = \{x\in \R\ |\ \forall m\geq n,\ \forall p \geq n, |f_m(x) - f_p(x)|\leq 1/k\}.

On note In,k l'intérieur de Fn,k. On note

O_k = \bigcup_{n\in \mathbb N}I_{n,k}\quad \mathrm{et}\quad O = \bigcap_{k \in \mathbb N*} O_k.

On va prouver que O est dense dans \R et que f est continue en tout point de O.

1) Fn,k est un fermé et \bigcup_{n\in \mathbb N}F_{n,k}= \R.

Pour tous entiers m, p et k, les fonctions fm et fp sont continues donc l'ensemble

\{x\in \R /\ |f_m(x) - f_p(x)|\leq 1/k\}

est un fermé et Fn,k est fermé comme intersection de fermés.

Pour tout réel x, la suite (fn(x)) converge simplement vers f(x). C'est donc une suite de Cauchy et il existe un entier n tel que

\forall m\geq n, \forall p \geq n, |f_m(x) - f_p(x)|\leq 1/k\}.

Ceci assure qu'il existe un entier n tel que x appartient à Fn,k.

2) Pour tout entier k, Ok est un ouvert dense dans \R.

L'ensemble Ok est un ouvert car c'est une union d'ouverts. Pour montrer que Ok est dense dans \R, il suffit de prouver que pour tout réel x et pour tout réel positif h, l'intervalle [x − h;x + h] rencontre Ok.

On considère la suite dénombrable de fermés F_{n,k} \cap [x - h; x + h]. Son union pour n \in \N donne l'intervalle [x − h;x + h] dont l'intérieur est non vide. Par la contraposée du théorème de Baire, on en déduit qu'il existe un entier n tel que F_{n,k} \cap [x - h; x + h] soit d'intérieur non vide (En effet, le propriété de Baire peut encore s'énoncer : une union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide. Par contraposée, puisque l'union des fermés est d'intérieur non vide, il existe un fermé dont l'intérieur est non vide). Cela signifie que [x − h,x + h] rencontre In,k donc rencontre Ok.

3) O\, est dense dans \R.

Par application immédiate du théorème de Baire, une intersection dénombrable d'ouverts denses dans \R est dense dans \R.

4) Pour tout réel x de O, f est continue en x.

Pour tout x de O, x appartient à Ok pour tout entier k. Donc pour tout entier k, il existe un entier n tel que x appartient à In,k.

Pour tout y de In,k et tout entier p supérieur ou égal à n, on a

|f_n(y) - f_p(y)| \leq 1/k.

Par passage à la limite, on obtient

|f_n(y) - f(y)| \leq 1/k.

En particulier

|f_n(x) - f(x)| \leq 1/k.

La fonction fn étant continue en x, il existe un ouvert U contenant x tel que, pour tout réel y de U, on ait

|f_n(x) - f_n(y)|\leq 1/k.

Donc, pour le réel x et pour tout réel y de l'ouvert U \cap I_{n,k}, on a les trois inégalités

|f_n(x) - f(x)| \leq 1/k
|f_n(y) - f(y)| \leq 1/k
|f_n(x) - f_n(y)| \leq 1/k.

Par sommation, on obtient

|f(x) - f(y)| \leq 3/k
ce qui assure la continuité de f en x.
 

Exemple d'utilisation

  • Si une fonction f:\R\to \R est une dérivée, c'est-à-dire qu'il existe g:\R\to \R dérivable telle que g' = f, alors f est la limite simple de la suite de fonction (fn) définie par
f_n(x) = n\left(g\left(x + \frac{1}{n}\right) - g(x)\right).

On en déduit donc que toute fonction dérivée est continue sur un ensemble dense de réels.

  • La fonction de Dirichlet, étant discontinue en tout point, ne peut être la limite d'une suite de fonctions continues pour la convergence simple.

Contexte historique

En 1905, René Baire écrit un mémoire sur les fonctions discontinues. Alors que la limite d'une suite de fonctions continues convergeant uniformément est elle-même continue, il n'en est pas de même si la suite de fonctions continues converge simplement. Baire se donne pour but de caractériser les fonctions discontinues qui sont limites d'une suite de fonctions continues pour la convergence simple. Pour cela, il utilise les notions très avancées à l'époque d'ensemble dérivé, de nombre ordinal, de récurrence transfinie, d'ensemble parfait, d'ensemble nulle part dense et de première catégorie. Il parvient à montrer l'équivalence suivante :

Une fonction f est limite simple d'une suite de fonctions continues sur un intervalle [a,b] si et seulement si, pour tout ensemble parfait P inclus dans [a,b], la restriction de f à P admet un ensemble dense dans P de points de continuité.

L'énoncé du théorème de la limite simple de Baire est un cas particulier de la condition nécessaire, dans le cas où P est égal à l'intervalle entier.

Liens et sources


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