Théorème de la limite simple de Baire

Théorème de la limite simple de Baire

En mathématiques, le théorème de la limite simple de Baire est un surprenant résultat d'analyse sur la continuité d'une limite simple d'une suite de fonctions continues. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français René Baire. C'est une conséquence de la propriété de Baire.

Sommaire

Énoncé

Soit (fn) une suite de fonctions continues de \mathbb{R} dans \mathbb{R}. Si elle converge simplement vers une fonction f, alors f est continue sur un ensemble dense de réels.

Exemple d'utilisation

  • Si une fonction f:\R\to \R est une dérivée, c'est-à-dire qu'il existe g:\R\to \R dérivable telle que g' = f, alors f est la limite simple de la suite de fonction (fn) définie par
f_n(x) = n\left(g\left(x + \frac{1}{n}\right) - g(x)\right).

On en déduit donc que toute fonction dérivée est continue sur un ensemble dense de réels.

  • La fonction de Dirichlet, étant discontinue en tout point, ne peut être la limite d'une suite de fonctions continues pour la convergence simple.

Contexte historique

En 1905, René Baire écrit un mémoire sur les fonctions discontinues. Alors que la limite d'une suite de fonctions continues convergeant uniformément est elle-même continue, il n'en est pas de même si la suite de fonctions continues converge simplement. Baire se donne pour but de caractériser les fonctions discontinues qui sont limites d'une suite de fonctions continues pour la convergence simple. Pour cela, il utilise les notions très avancées à l'époque d'ensemble dérivé, de nombre ordinal, de récurrence transfinie, d'ensemble parfait, d'ensemble nulle part dense et de première catégorie. Il parvient à montrer l'équivalence suivante :

Une fonction f est limite simple d'une suite de fonctions continues sur un intervalle [a,b] si et seulement si, pour tout ensemble parfait P inclus dans [a,b], la restriction de f à P admet un ensemble dense dans P de points de continuité.

L'énoncé du théorème de la limite simple de Baire est un cas particulier de la condition nécessaire, dans le cas où P est égal à l'intervalle entier.

Liens et sources


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de la limite simple de Baire de Wikipédia en français (auteurs)

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