Théorème de frobenius généralisé

Théorème de frobenius généralisé

Théorème de Frobenius généralisé

Le théorème de Frobenius généralisé est un théorème d'algèbre générale qui étend le théorème de Frobenius de 1877.

En 1843, Hamilton a souhaité étendre les propriétés d'algèbre normée des nombres complexes en considérant des triplets de réels. Il ne put effectuer cette généralisation qu'en considérant des quadruplets de réels, et en abandonnant la commutativité du produit, il obtint les quaternions.

En 1845, Cayley poursuit l'extension de la construction à huit dimensions, en abandonnant également l'associativité du produit, compensée par les lois alternatives x(xy) = x2y et (yx)x = yx2.

En 1877, Frobenius a montré un théorème qui donne une classification des algèbres de division associatives de dimension finie sur le corps des réels (il s'agit de \R (réels), \Complex (complexes) et \mathbb{H} (quaternions)).

Nous donnons ici une généralisation de ce théorème :

Théorème de Frobenius généralisé — Les seules algèbres de division alternatives de dimension finie sur le corps des réels sont \R (réels), \Complex (complexes), \mathbb{H} (quaternions) et \mathbb{O} (octonions).

Sommaire

Lemmes préliminaires

Il est utile d'utiliser l'associateur A de x,y,z. Soit une algèbre alternative (qui satisfait les lois alternatives qui se traduisent par A(x,x,y) = A(y,x,x) = 0) sur un corps \mathbb{K} et x,y,z trois éléments de cette algèbre.

Lemme 1 — L'associateur est alterné :

A(x,y,z)=-A(y,x,z)=-A(x,z,y)=-A(z,y,x)\,.

En effet, par la première loi alternative on a

0=A(x+y,x+y,z)=A(x,x,z)+A(x,y,z)+A(y,x,z)+A(y,y,z)=A(x,y,z)+A(y,x,z) \,

Lemme 2 — La loi flexible x(yx) = (xy)x est valide.

En effet, par le lemme 1, A(x,y,x) = − A(y,x,x).

Lemme 3 — Si x et y anticommutent (xy = − yx), alors x(yz) = − y(xz) et (zx)y = − (zy)x.

En effet, par le lemme 1, A(x,y,z) + A(y,x,z) = 0, et si xy + yx = 0, alors 0 = A(x,y,z) + A(y,x,z) + (xy + yx)z = x(yz) + y(xz), soit x(yz) = − y(xz). L'autre égalité se démontre de même.

Lemme 4 — L'identité de Moufang (zx)(yz) = (z(xy))z est valide (on dit que le produit est neutroactif).

En effet,

\begin{align}
(zx)(yz)-((zx)y)z & = A(zx,y,z) = A(y,z,zx)=y(z^2x)-(yz)(zx)\\
& =  y(z^2x)-A(yz,z,x)-(yz^2)x=A(y,z^2,x)-A(yz,z,x) \\ 
& =  A(y,z^2,x)-1(x,yz,z)=A(y,z^2,x)-x(yz^2)+(x(yz))z \\
& =  A(y,z^2,x)+A(x,y,z)z-A(x,y,z^2)=A(x,y,z)z
\end{align}

D'où (zx)(yz) = A(x,y,z)z + ((zx)x)z = A(x,y,z)zA(z,x,y)z + (z(xy))z = (z(xy))z.

Lemme 5 — En définissant par récurrence x1 = x puis xn + 1 = xnx pour n \in \N, on a xnxm = xn + m.

Par récurrence sur m, avec la loi flexible on obtient xxm = xm + 1.

Puis par récurrence sur n, comme la propriété est vraie par définition pour m = 1, alors on peut supposer m > 1 et l'hérédité vient de l'identité de Moufang :

x^{n+1}x^m=(xx^n)(x^{m-1}x)=xx^{n+m-1}x=x^{n+m+1} \,.

Démonstration

Soit D une algèbre de division alternative de dimension finie sur le corps des réels.

Point 1

Si x \in D, alors x^2 \in \R + \R x.

Par le lemme 5, l'application

\begin{matrix}\R[X]&\rightarrow&D\\X&\mapsto&x\end{matrix}

est un morphisme d'algèbre.

La famille {1,x,x2,...} des puissances d'un élément x\in D est liée. En effet, si cette famille est finie, il y a un relation du type xn = xm avec n\neq m et si elle est infinie, cela vient de la dimension finie de D.

Etant donné qu'un polynôme à coefficients réels est produit de polynômes de degré un ou deux (cf. Factorisation des polynômes), et comme D n'admet pas de diviseur de zéro, on en déduit que x vérifie une équation du second degré à coefficients réels, soit x^2 \in \R + \R x.

Point 2

Si D\neq\R, alors il existe i\in D tel que i2 = − 1. \Complex =\R+\R i est un corps isomorphe à celui des nombres complexes et \Complex=\{x\in D |xi=ix\}.

En effet, par le point 1, x2 = ax + b avec (a,b)\in\R^2, d'où  (x-\tfrac{a}{2})^2\in\R.

Ainsi, si x\not\in\R, il faut que (x-\tfrac{a}{2})^2=-c^2 avec c\in\R.

On en déduit que si D\neq\R, alors d'une part il existe i\in D tel que i2 = − 1, et d'autre part si x\in D et xi = ix alors x\in \R+\R i (en effet si x\not\in\R, alors (x-\tfrac{a}{2})^2=(ic)^2, et avec xi = ix on a

\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-(ic)^2=\left(x-\frac{a}{2}+ic\right)\left(x-\frac{a}{2}-ic\right
)=0

soit  x=\tfrac{a}{2}\pm ic).

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Frobenius g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de frobenius généralisé de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Frobenius generalise — Théorème de Frobenius généralisé Le théorème de Frobenius généralisé est un théorème d algèbre générale qui étend le théorème de Frobenius de 1877. En 1843, Hamilton a souhaité étendre les propriétés d algèbre normée des nombres complexes en… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Frobenius généralisé — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Hurwitz. Le théorème de Frobenius généralisé (connu également sous le nom de théorème de Hurwitz[1], bien que ce dernier en soit une forme plus générale encore) est un théorème d algèbre générale qui… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de densite de Chebotarev — Théorème de densité de Chebotarev Le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de Dirichlet sur l infinitude des nombres premiers en progressions arithmétiques. Ce dernier stipule que, si sont deux entiers premiers entre… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de densité de chebotarev — Le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de Dirichlet sur l infinitude des nombres premiers en progressions arithmétiques. Ce dernier stipule que, si sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de densité de Chebotarev — En théorie algébrique des nombres, le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l infinitude des nombres premiers en progression arithmétique. Ce dernier stipule que, si sont… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Burnside (groupe resoluble) — Théorème de Burnside (groupe résoluble) William Burnside En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des groupes résolubles. Ce théorème stipule que, si p et q sont deux… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de burnside (groupe résoluble) — William Burnside En mathématiques, et plus précisément dans le contexte de la théorie des groupes finis, le théorème de Burnside traite des groupes résolubles. Ce théorème stipule que, si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux …   Wikipédia en Français

  • Ferdinand Georg Frobenius — Pour les articles homonymes, voir Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius, connu aussi sous le nom de Georg Frobenius, né le 26 octobre& …   Wikipédia en Français

  • Georg Ferdinand Frobenius — Ferdinand Georg Frobenius Pour les articles homonymes, voir Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius, connu aussi sous le nom de Georg Froben …   Wikipédia en Français

  • Georg Frobenius — Ferdinand Georg Frobenius Pour les articles homonymes, voir Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius. Ferdinand Georg Frobenius, connu aussi sous le nom de Georg Froben …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”