Théorème de densité de Chebotarev

Théorème de densité de Chebotarev

En théorie algébrique des nombres, le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique. Ce dernier stipule que, si a,q \geq 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers p \equiv a \pmod q vaut 1 / φ(q).

Énoncé

Le cadre du théorème de Chebotarev est le suivant : on considère une extension galoisienne L / K de corps de nombres, de groupe de Galois G. Pour tout idéal entier \mathfrak {a} de K, on note \mathcal {N}(\mathfrak {a}) = \left | \mathcal O_K / \mathfrak a\right | la norme de \mathfrak {a}.

Considérons un idéal premier \mathfrak {p} de K non ramifié dans L, et soit \mathfrak {P} \mid \mathfrak p un idéal premier de L au-dessus de \mathfrak {p}.

On montre qu'il existe un unique élément \sigma_{\mathfrak {P}} \in G caractérisé par la relation suivante : pour tout élément \alpha \in \mathcal {O}_L, on a

\sigma_{\mathfrak P} (\alpha) \equiv \alpha^{\mathcal N(\mathfrak {p})} \pmod {\mathfrak {P}}.

Si G n'est pas abélien, cela dépend du choix de \mathfrak P : en effet, si \mathfrak {P'} est un autre idéal premier au-dessus de \mathfrak p, il existe un élément \sigma \in G tel que \mathfrak {P'} = \sigma ( \mathfrak P), et alors \sigma_{\mathfrak {P'}} et \sigma_{\mathfrak P} sont conjugués dans G.

On considère alors la classe de conjugaison \{ \sigma_{\mathfrak P}, \, \mathfrak P\mid \mathfrak p\}, que l'on nomme symbole de Frobenius de \mathfrak p dans L / K, encore noté (par abus) \sigma_{\mathfrak p}. Remarquons que, si G est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème que Nikolai Chebotarev (en) démontra dans sa thèse en 1922 :

Théorème de Chebotarev —  Soit C une classe de conjugaison dans G. Alors l'ensemble des idéaux premiers \mathfrak {p} de K, non ramifiés dans L, et tels que \sigma_{\mathfrak {p}} = C, a pour densité naturelle (en) | C | / | G | .

Le le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle trivialement, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de \Q.


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