Théorème de densité de chebotarev

Théorème de densité de Chebotarev

Le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progressions arithmétiques. Ce dernier stipule que, si $a,q \geq 1$ sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers $p \equiv a \pmod q$ vaut $1/\varphi(q)$ .

Le cadre du théorème de Chebotarev est le suivant : on considère une extension galoisienne $\mathbb {L} / \mathbb {K}$ de corps de nombres, de groupe de Galois $G$ . Pour tout idéal entier $\mathfrak {a}$ de $\mathbb {K}$ , on note $\mathcal {N}(\mathfrak {a}) = \left | \mathcal {O}_{\mathbb {K}} / \mathfrak {a}\right |$ la norme de $\mathfrak {a}$ .

Considérons un idéal premier $\mathfrak {p}$ de $\mathbb {K}$ non ramifié dans $\mathbb {L}$ , et soit $\mathfrak {P} \mid \mathfrak {p}$ un idéal premier de $\mathbb {L}$ au-dessus de $\mathfrak {p}$ .

On montre qu'il existe un unique élément $\sigma_{\mathfrak {P}} \in G$ caractérisé par la relation suivante : pour tout élément $\alpha \in \mathcal {O}_{\mathbb {L}}$ , on a

$\sigma_{\mathfrak {P}} (\alpha) \equiv \alpha^{\mathcal {N}(\mathfrak {p})} \pmod {\mathfrak {P}}.$

Si $G$ n'est pas abélien, cela dépend du choix de $\mathfrak {P}$ : en effet, si $\mathfrak {P'}$ est un autre idéal premier au-dessus de $\mathfrak {p}$ , il existe un élément $\sigma \in G$ tel que $\mathfrak {P'} = \sigma ( \mathfrak {P})$ , et alors $\sigma_{\mathfrak {P'}}$ et $\sigma_{\mathfrak {P}}$ sont conjugués dans $G$ .

On considère alors la classe de conjugaison $\{ \sigma_{\mathfrak {P}}, \, \mathfrak {P} \mid \mathfrak {p} \}$ , que l'on nomme symbole de Frobénius de $\mathfrak {p}$ dans $\mathbb {L} / \mathbb {K}$ , encore noté (par abus) $\sigma_{\mathfrak {p}}$ . Remarquons que, si $G$ est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.

Nous pouvons alors énoncer le théorème de Chebotarev :

Thoérème de Chebotarev — Soit $C$ une classe de conjugaison dans $G$ . Alors l'ensemble des idéaux premiers $\mathfrak {p}$ de $\mathbb {K}$ , non ramifiés dans $\mathbb {L}$ , et tels que $\sigma_{\mathfrak {p}} = C$ , a pour densité naturelle $| C | / | G |$ .

Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle trivialement, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de $\mathbb{Q}$ .

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