- Theoreme de densite de Chebotarev
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Théorème de densité de Chebotarev
Le théorème de Chebotarev généralise, en quelque sorte, le théorème de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progressions arithmétiques. Ce dernier stipule que, si
sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers
vaut
.
Le cadre du théorème de Chebotarev est le suivant : on considère une extension galoisienne
de corps de nombres, de groupe de Galois G. Pour tout idéal entier
de
, on note
la norme de
.
Considérons un idéal premier
de
non ramifié dans
, et soit
un idéal premier de
au-dessus de
.
On montre qu'il existe un unique élément
caractérisé par la relation suivante : pour tout élément
, on a
Si G n'est pas abélien, cela dépend du choix de
: en effet, si
est un autre idéal premier au-dessus de
, il existe un élément
tel que
, et alors
et
sont conjugués dans G.
On considère alors la classe de conjugaison
, que l'on nomme symbole de Frobénius de
dans
, encore noté (par abus)
. Remarquons que, si G est abélien, cette classe est réduite à un seul élément.
Nous pouvons alors énoncer le théorème de Chebotarev :
Thoérème de Chebotarev — Soit C une classe de conjugaison dans G. Alors l'ensemble des idéaux premiers
de
, non ramifiés dans
, et tels que
, a pour densité naturelle | C | / | G | .
Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique en découle trivialement, en appliquant le théorème précédent à une extension cyclotomique de
.
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