Mesure de probabilité

Mesure de probabilité

Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) \ P est une application qui à un évènement \ A quelconque lié à l'expérience aléatoire \mathcal E associe un nombre réel (noté \ P(A)) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés

Sommaire

Premier axiome

Pour tout évènement \ A :

0 \leq P(A) \leq 1.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

\ \Omega désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

\ P(\Omega) = 1,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), A_1,\, A_2, \dots satisfait :

P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} P(A_i).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

  • P(\emptyset)=0.
Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec \scriptstyle\ A_k=\emptyset\ pour tout \scriptstyle\ k.\ On obtient

P(\emptyset)=\sum_{k\ge 1}P(\emptyset),

relation qui n'est pas satisfaite si \scriptstyle\ P(\emptyset)\in]0,1],\ puisqu'alors le terme de droite vaut \scriptstyle\ +\infty.\ Donc il ne reste que \scriptstyle\ P(\emptyset)=0,\ qui d'ailleurs convient.

  • Si \ A, \ B sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors
P(A \cup B) = P(A) + P(B).
  • Plus généralement, si \ (A_k)_{1\le k\le n} est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors
P\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}P(A_k).
Démonstration

Utilisons le 3ème axiome avec \scriptstyle\ A_k=\emptyset\ pour tout \scriptstyle\ k\ge n+1.\ On obtient bien une suite d'évènements incompatibles 2 à 2 tels que

\bigcup_{1\le k\le n} A_k=\bigcup_{k\ge 1} A_k,

donc

P\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right)=P\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right),

mais en vertu du troisième axiome

P\left(\bigcup_{k\ge 1} A_k\right)=\sum_{k\ge 1}P\left(A_k\right)

et finalement, puisque pour tout \scriptstyle\ k\ge n+1,\ P\left(A_k\right)=P\left(\emptyset\right)=0,\ on obtient le résultat désiré.

  • P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B);

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence P(B) - P(A \cap B). Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de B \setminus A et de A \cap B.

  • En particulier, si A \subset B, alors
P(A) \leq P(B)

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où A \subset B, la propriété précédente s'écrit

P(B \setminus A) =P(B) - P(A),\ où le premier terme est clairement positif ou nul.
  • Dans le cas particulier où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement \ A,
P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

  • Pour tous évènements \ A, \ B,
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que \ A se réalise, et pour que \ B se réalise, moins la probabilité pour que \ A et \ B se réalisent simultanément. De même,

P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P(C \cap A) - P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C).
\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

Limites croissantes et décroissantes

  • Toute suite croissante d'évènements A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots satisfait :
P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} P(A_n).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Démonstration

On pose

B_1=A_1\quad\text{et}\quad\forall n\ge 2, \ B_n=A_n\backslash A_{n-1}.

Alors les Bi sont disjoints et vérifient

\bigcup_{n\ge 1}B_n=\bigcup_{n\ge 1}A_n\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \bigcup_{k= 1}^nB_k=A_n.

Les propriétés de σ-additivité et d'additivité, respectivement, entrainent alors que

\sum_{n\ge 1}P(B_n)=P\left(\bigcup_{n\ge 1}A_n\right)\quad\text{et}\quad\forall n\ge 1, \ \sum_{k= 1}^nP(B_k)=P(A_n).

Alors \scriptstyle\ P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} P(A_n) n'est autre que la définition de la somme d'une série comme limite de ses sommes partielles.

  • Toute suite décroissante d'évènements A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots satisfait :
P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} P(A_n).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

Formulation à partir de la théorie de la mesure

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement mais plus abstraitement ce qui précède par un triplet (\Omega,\mathcal{A},P) représentant un espace de probabilités, ce qui permet d'utiliser directement les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue.

Articles de mathématiques en rapport avec les probabilités ou les statistiques
  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Axiomes des probabilit%C3%A9s ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Mesure de probabilité de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • mesure de probabilité — tikimybės matas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. probability measure vok. Wahrscheinlichkeitsmaß, n rus. вероятностная мера, f; мера вероятностни, f pranc. mesure de probabilité, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Mesure (mathematiques) — Mesure (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir mesure. En mathématiques, une mesure est une fonction qui associe une « longueur », un « volume » ou encore une « probabilité » à certaines parties d un… …   Wikipédia en Français

  • Mesure (mathématique) — Mesure (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir mesure. En mathématiques, une mesure est une fonction qui associe une « longueur », un « volume » ou encore une « probabilité » à certaines parties d un… …   Wikipédia en Français

  • Mesure de dénombrement — Mesure (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir mesure. En mathématiques, une mesure est une fonction qui associe une « longueur », un « volume » ou encore une « probabilité » à certaines parties d un… …   Wikipédia en Français

  • Probabilité stationnaire d'une chaîne de Markov — La probabilité stationnaire d une chaîne de Markov s interprète usuellement comme la fraction du temps passé en chaque état de l espace d états de cette chaîne de Markov, asymptotiquement. En effet, une version de la loi forte des grands nombres… …   Wikipédia en Français

  • Mesure (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir mesure. Pour une introduction à cette notion, consulter l article : Superficie. En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n y a pas de risque de confusion) est une fonction qui… …   Wikipédia en Français

  • Probabilite — Probabilité La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d un évènement. En mathématiques, l étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de nombreuses applications. La probabilité d… …   Wikipédia en Français

  • Probabilité et statistique — Probabilité La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d un évènement. En mathématiques, l étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de nombreuses applications. La probabilité d… …   Wikipédia en Français

  • PROBABILITÉ SUBJECTIVE — Utilisée parfois par les mathématiciens pour désigner la probabilité «bayésienne» (cf. calcul des PROBABILITÉS), l’expression de probabilité subjective comporte en elle même une ambiguïté. Elle désigne en effet soit la logique propre de la… …   Encyclopédie Universelle

  • probabilité — [ prɔbabilite ] n. f. • 1361; lat. probabilitas 1 ♦ Caractère de ce qui est probable. Probabilité d une hypothèse. ⇒ vraisemblance. Grande, forte probabilité d un événement. ⇒ chance. Selon toute probabilité : vraisemblablement. 2 ♦ Grandeur par… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”