- Théorème de Noether (mathématiques)
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Pour les articles homonymes, voir Théorème de Noether.Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.
Sommaire
Principe
Soit M une variété différentielle de dimension n. Son fibré tangent TM est l'ensemble des couples
avec x un point de M et 
un vecteur tangent à M en x. On prend alors 
une fonction appelée lagrangien (indépendant du temps). On note 
le moment conjugué de Lagrange, une forme linéaire sur l'espace tangent à M en x.Une symétrie est un difféomorphisme
tel que l'on ait 
avec df = (f,f'), le couple formé par f et sa dérivée. Les symétries de L forment un groupe pour la composition.Une symétrie infinitésimale du lagrangien L est un champ de vecteurs V sur M tel que le groupe de Lie à un paramètre engendré par le flot de V,
, soit un sous-groupe des symétries de L.Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange de L.
Théorème — Si
est un lagrangien indépendant du temps, et que V est une symétrie infinitésimale de L, alors la fonction G définie sur TM par :
est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à L ; c'est-à-dire que
est constante sur une solution x(t) des équations d'Euler-Lagrange.DémonstrationIntroduisons
, le groupe à un paramètre de difféomorphismes de V. Dérivons par rapport à s en s = 0 l'équation :![L\left[\mathrm d\Phi_s(w)\right]=L(w)](5/2f56f46ac85f91d0b1d1bc2d3bf8fff6.png)
On trouve la condition que doit satisfaire V pour être une symétrie infinitésimale du lagrangien L :
![\partial_{\mathcal{H}}L(w)(V\circ\pi(w))+ \partial_{\mathcal{V}}L(w)\left[\nabla_wV\right]=0](c/00c7629d63e5fe7f9e49890521e3a9c5.png)
où a été introduite une métrique riemannienne arbitraire sur M. Le symbole
désigne la différentielle horizontale. La dépendance de l'équation ci-dessus en la métrique est superficielle. Soit 
une solution des équations d'Euler-Lagrange. Alors, il vient :![\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\dot{q}(t))&=
\left[\nabla_t \partial_{\mathcal{V}}L(\dot{q}(t))\right]\left(W(q(t))\right)+\partial_{\mathcal{V}}L(\dot{q}(t))\left[\nabla_tW\circ q\right]
\\ & = \partial_{\mathcal{H}}L(\dot{q}(t))\left[W(q(t))\right]+\partial_{\mathcal{H}}L(\dot{q}(t))\left[\nabla_tW\circ q\right]
\\ & =0
\end{align}](8/c384bd6ca565421300f4e547588f94a1.png)
D'où le résultat.
Applications
Mouvement à force centrale
Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse m dans un champ de forces dérivant d'un potentiel V = V(r) ne dépendant que du rayon r. C'est le problème variationnel associé au lagrangien L sur
:
Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe D est engendré par un champ de vecteurs de la forme :
où
désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :![G_{\Omega}(q,w)=m\dot{q}\cdot \left[\Omega\wedge q\right]=-\Omega\cdot m\left(q\wedge \dot{q}\right)](3/ed3f6af41d3af4a809a2b32b3e40206c.png)
est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation Ω, on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :
Source
- Pierre Pansu ; Cours de Géométrie différentielle, niveau Master 2 ; [1]
Catégories :- Géométrie symplectique
- Théorème de géométrie
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