Théorème de Noether (physique)

Théorème de Noether (physique)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Noether.

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Établi en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ».

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d'espace, de charges, et même de temps.

Sommaire

Énoncé

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Autrement dit :

Soit qi(s), un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre s. Si le lagrangien L est indépendant de s, c'est-à-dire L(q^{i(s)},\dot q^{i(s)},t)=L(q^i,\dot q^i,t) avec qi(0) = qi, alors :

I(q^i,\dot q^i)=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{s=0}

est une intégrale première, c'est-à-dire que \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=\frac{\partial I}{\partial t}+\{I,H\}=0 , où H désigne l'hamiltonien associé à L et où {I,H} utilise la notation du crochet de Poisson.

Démonstration

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\partial L}{\partial q^{i(s)}}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d \dot q^{i(s)}}{\mathrm ds}

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds} (en utilisant les équations d'Euler-Lagrange)

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d q^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{\forall\,s}\right)=0

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{s=0}\right)=0

Remarque

Le théorème s'applique à certaines classes de théories décrites soit par un lagrangien, soit par un hamiltonien, ce qui est le cas de la plupart des théories en physique.

Applications

Symétries d'espace-temps, dites « externes  »

  • l'invariance par translation dans le temps entraîne la conservation de l'énergie ;
  • l'invariance par translation dans l'espace selon une direction xi entraîne la conservation de la quantité de mouvement pi dans la même direction ;
  • l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire.

Symétries internes

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Nina Byers ; E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws, UCLA/98/TEP/20 (1998). Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/9807044.
  • G.Sardanashvily ; Noether conservation laws in classical mechanics, (2003). Texte complet disponible sur l'ArXiv : math-ph/0302027.
  • G.Sardanashvily ; Noether conservation laws in quantum mechanics, (2003). Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0302123.
  • Yvette Kosmann-Schwarzbach, Les théorèmes de Noether: invariance et lois de conservation au XXe siècle. Avec une traduction de l'article original, "Invariante Variationsprobleme", avec la collaboration de Laurent Meersseman, École Polytechnique, 2ème éd., 2004.

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Noether (physique) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Noether (physique) — Théorème de Noether (physique) Pour les articles homonymes, voir Théorème de Noether. Le théorème de Noether exprime l équivalence qui existe entre les lois de conservation et l invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de noether (physique) — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Noether. Le théorème de Noether exprime l équivalence qui existe entre les lois de conservation et l invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Noether — Théorème de Noether Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Théorème de Noether (mathématiques) Théorème de Noether (physique) Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Noether ».… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de noether — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Théorème de Noether (mathématiques) Théorème de Noether (physique) Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Noether ». Catégorie : Homonymie …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Noether — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. En mathématiques, le théorème de Noether, un théorème de géométrie symplectique. En physique, le théorème de Noether s applique à certaines… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme du moment cinetique — Théorème du moment cinétique En mécanique classique, le théorème du moment cinétique est un résultat fondamental, corollaire utile des lois du mouvement de Newton. Il se révèle très pratique dans l étude des problèmes à deux corps et en mécanique …   Wikipédia en Français

  • PHYSIQUE — La Science et les Sciences Généralités Connaissance · Théorie · Savoir Classification des sciences Science empirique · sciences exactes Sciences dures · sciences molles Science de la nature · …   Wikipédia en Français

  • Noether — Emmy Noether Emmy Noether Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 14 avril 1935) était une mathématicienne allemande connue pour ses contributions révolutionnaires en algèbre abstraite et physique théorique. Décrite par Albert Einstein et d autres… …   Wikipédia en Français

  • Physique newtonienne — Lois du mouvement de Newton Les deux premières lois de Newton en latin dans l édition originale du Principia Mathematica de 1687. Les lois du mouvement de Newton sont en fait des principes à la base de la grande théorie de Newton concernant le… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Bloch — Onde de Bloch Pour les articles homonymes, voir Bloch. Les ondes de Bloch, d après Felix Bloch, sont les fonctions d ondes décrivant les états quantiques des électrons soumis à un potentiel périodique. C est notamment le cas du cristal parfait… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”