Théorème de Noether (physique)

Théorème de Noether (physique)
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Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne certaines transformations (typiquement appelées symétries).

Établi en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique ».

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en termes de symétrie d'espace, de charges, et même de temps.

Sommaire

Énoncé

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Autrement dit :

Soit qi(s), un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre s. Si le lagrangien L est indépendant de s, c'est-à-dire L(q^{i(s)},\dot q^{i(s)},t)=L(q^i,\dot q^i,t) avec qi(0) = qi, alors :

I(q^i,\dot q^i)=\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{s=0}

est une intégrale première, c'est-à-dire que \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=\frac{\partial I}{\partial t}+\{I,H\}=0 , où H désigne l'hamiltonien associé à L et où {I,H} utilise la notation du crochet de Poisson.

Démonstration

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\partial L}{\partial q^{i(s)}}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d \dot q^{i(s)}}{\mathrm ds}

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}+\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds} (en utilisant les équations d'Euler-Lagrange)

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^{i(s)}}\frac{\mathrm d q^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{\forall\,s}\right)=0

\frac{\mathrm dL}{\mathrm ds}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\frac{\mathrm dq^{i(s)}}{\mathrm ds}\right|_{s=0}\right)=0

Remarque

Le théorème s'applique à certaines classes de théories décrites soit par un lagrangien, soit par un hamiltonien, ce qui est le cas de la plupart des théories en physique.

Applications

Symétries d'espace-temps, dites « externes  »

  • l'invariance par translation dans le temps entraîne la conservation de l'énergie ;
  • l'invariance par translation dans l'espace selon une direction xi entraîne la conservation de la quantité de mouvement pi dans la même direction ;
  • l'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire.

Symétries internes

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Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Nina Byers ; E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws, UCLA/98/TEP/20 (1998). Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/9807044.
  • G.Sardanashvily ; Noether conservation laws in classical mechanics, (2003). Texte complet disponible sur l'ArXiv : math-ph/0302027.
  • G.Sardanashvily ; Noether conservation laws in quantum mechanics, (2003). Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0302123.
  • Yvette Kosmann-Schwarzbach, Les théorèmes de Noether: invariance et lois de conservation au XXe siècle. Avec une traduction de l'article original, "Invariante Variationsprobleme", avec la collaboration de Laurent Meersseman, École Polytechnique, 2ème éd., 2004.

Liens externes


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