Théorème de noether (mathématiques)

Théorème de noether (mathématiques)

Théorème de Noether (mathématiques)

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Le théorème de Noether, de Emmy Noether (1918), est un théorème de géométrie symplectique.

Sommaire

Principe

Il consiste en: soit M une variété différentielle de dimension n et L un lagrangien indépendant du temps sur M, c'est-à-dire une fonction différentiable L:TM\rightarrow R. Une symétrie est un difféomorphisme f:M\rightarrow M tel que l'on ait :

 L\circ\mathrm df=L

Une symétrie infinitésimale du lagrangien L est un champ de vecteurs V sur U tel que le groupe à un paramètre engendré s\mapsto \Phi_s soit un groupe de symétries de L. Le théorème de Noether associe à toute symétrie infinitésimale une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange de L.

Théorème — Si L:TM\rightarrow R est un lagrangien indépendant du temps, et que V est une symétrie infinitésimale de L, alors la fonction G définie sur TM par :


G(w)=\partial_{\mathcal{V}}L(w)(V\circ\pi(w))

est une intégrale première des équations d'Euler-Lagrange associée à L.

Comme usuellement, \partial_{\mathcal{V}}L(w) désigne la différentielle verticale de L en w, vue comme une forme linéaire sur Tπ(w)M.

Applications

Mouvement à force centrale

Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel de masse m dans un champ de forces dérivant d'un potentiel V = V(r) ne dépendant que du rayon r. C'est le problème variationnel associé au lagrangien L sur \R^3 :

L(w)=\frac{m}{2}\|w\|^2-V(r)

Ce lagrangien est invariant par toutes les rotations dont l'axe passe par l'origine. Un groupe à un paramètre de rotations d'axe D est engendré par un champ de vecteurs de la forme :

V(q)=\Omega\wedge q

\wedge désigne le produit vectoriel usuel. Par le théorème de Noether, la fonction :

G_{\Omega}(q,w)=m\dot{q}\cdot \left[\Omega\wedge q\right]=-\Omega\cdot m\left(q\wedge \dot{q}\right)

est une intégrale première du mouvement. En faisant varier le vecteur rotation Ω, on conclut que le vecteur suivant, appelé moment cinétique, est constant :

\mu=m(q\wedge \dot{q})

Source

  • Pierre Pansu ; Cours de Géométrie différentielle, niveau Master 2 ; [1]



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