Théorème de Lindemann-Weierstrass

Théorème de Lindemann-Weierstrass
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass.

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors e^{\alpha_1}, \cdots, e^{\alpha_n}\, sont algébriquement indépendants sur Q. En d'autres termes, l'extension \Q(e^{\alpha_1}, \cdots , e^{\alpha_n})\, de \Q\, est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si \alpha_0, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors e^{\alpha_0}, \cdots, e^{\alpha_n}\, sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques, c’est-à-dire :

a_0e^{\alpha_0} + a_1e^{\alpha_1} + ... + a_ne^{\alpha_n}\neq 0

pour tous nombres ai algébriques non tous nuls.

Ce théorème fut démontré en 1885 par Karl Weierstrass, qui généralisa ainsi le théorème d'Hermite-Lindemann prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Le cas n=1

Lindemann avait prouvé que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant. (Ce théorème implique en particulier que e et pi sont transcendants.) C'est le cas n=1 du théorème prouvé par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

  • a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
  • ea est transcendant équivaut à : l'ensemble {ea} est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, nous pouvons argumenter que

  • a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
  • ea est transcendant équivaut à : e0 et ea sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.

Conjecture p-adique

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont transcendantes algébriquement indépendantes.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Lindemann-Weierstrass de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Lindemann-Weierstrass — Théorème de Lindemann Weierstrass Article d une série sur la constante mathématique e …   Wikipédia en Français

  • Théorème de lindemann-weierstrass — Article d une série sur la constante mathématique e …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'Hermite-Lindemann — Le théorème d’Hermite Lindemann affirme que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant. Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann. En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de… …   Wikipédia en Français

  • Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Weierstrass — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs théorèmes sont attribués à Karl Weierstrass ou le mentionnent dans leur nom. Théorème de Bolzano Weierstrass Théorème de factorisation de… …   Wikipédia en Français

  • Lindemann — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Pour consulter un article plus général, voir : Nom de famille germanique. Lindemann est un nom de famille notamment porté par : Ernst Lindemann… …   Wikipédia en Français

  • Karl Weierstrass — Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde en Westphalie ( …   Wikipédia en Français

  • Karl Theodor Wilhelm Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Ferdinand Von Lindemann — Pour les articles homonymes, voir Lindemann. Ferdinand von Lindemann Carl Louis Ferdinand von Lindemann …   Wikipédia en Français

  • Ferdinand von lindemann — Pour les articles homonymes, voir Lindemann. Ferdinand von Lindemann Carl Louis Ferdinand von Lindemann …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”