- Théorème de Lindemann-Weierstrass
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En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors sont algébriquement indépendants sur Q. En d'autres termes, l'extension de est transcendante de degré n.
Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si sont des nombres algébriques distincts alors sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques, c’est-à-dire :
pour tous nombres ai algébriques non tous nuls.
Ce théorème fut démontré en 1885 par Karl Weierstrass, qui généralisa ainsi le théorème d'Hermite-Lindemann prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.
Le cas n=1
Lindemann avait prouvé que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant. (Ce théorème implique en particulier que e et pi sont transcendants.) C'est le cas n=1 du théorème prouvé par Weierstrass.
En effet (avec la première formulation),
- a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
- ea est transcendant équivaut à : l'ensemble {ea} est algébriquement libre sur Q
En utilisant la seconde formulation, nous pouvons argumenter que
- a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
- ea est transcendant équivaut à : e0 et ea sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.
Conjecture p-adique
La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques sont transcendantes algébriquement indépendantes.
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