Théorème de Lindemann-Weierstrass

Théorème de Lindemann-Weierstrass
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En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors e^{\alpha_1}, \cdots, e^{\alpha_n}\, sont algébriquement indépendants sur Q. En d'autres termes, l'extension \Q(e^{\alpha_1}, \cdots , e^{\alpha_n})\, de \Q\, est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si \alpha_0, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors e^{\alpha_0}, \cdots, e^{\alpha_n}\, sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques, c’est-à-dire :

a_0e^{\alpha_0} + a_1e^{\alpha_1} + ... + a_ne^{\alpha_n}\neq 0

pour tous nombres ai algébriques non tous nuls.

Ce théorème fut démontré en 1885 par Karl Weierstrass, qui généralisa ainsi le théorème d'Hermite-Lindemann prouvé en 1882 par Ferdinand von Lindemann.

Le cas n=1

Lindemann avait prouvé que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant. (Ce théorème implique en particulier que e et pi sont transcendants.) C'est le cas n=1 du théorème prouvé par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

  • a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
  • ea est transcendant équivaut à : l'ensemble {ea} est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, nous pouvons argumenter que

  • a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
  • ea est transcendant équivaut à : e0 et ea sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques.

Conjecture p-adique

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont transcendantes algébriquement indépendantes.

v · Nombre e
Applications Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle · Décroissance exponentielle
Définitions Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème d'Hermite-Lindemann
Personnes John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Lindemann-Weierstrass de Wikipédia en français (auteurs)

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