- Théorème d'Hermite-Lindemann
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Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant.
Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann.
En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.
Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.
Transcendance de e et π
En particulier, e est transcendant (résultat montré par Charles Hermite en 1873 : c’est le théorème d’Hermite).
La transcendance de pi est aussi un corollaire du théorème de Lindemann : sin(π)=0, or on déduit plus généralement du théorème la transcendance de tout nombre non nul t dont (par exemple) le sinus est algébrique. En effet, vues les relations qui lient cos(t), sin(t) et eit, dès que l’un des trois est algébrique, tous trois le sont, en particulier eit est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre it est transcendant donc t aussi.
L'impossible quadrature du cercle
Lindemann montre que le problème de la quadrature du cercle se résume à la transcendance de la racine du nombre π. En prouvant que ce nombre n’est pas algébrique, il parvient à montrer qu’il est impossible de fabriquer un carré dont le centre gravité serait confondu avec l’origine d’un disque et qui aurait même aire que celui-ci, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.
Catégories :- Théorème de mathématiques
- Théorie des nombres
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