Theoreme de Lindemann-Weierstrass

Theoreme de Lindemann-Weierstrass

Théorème de Lindemann-Weierstrass

Article d'une série sur
la constante mathématique e

Euler's formula.svg

Logarithme naturel

Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler et Formule d'Euler · Demi-vie et Croissance exponentielle/Décroissance exponentielle

Définitions
Démonstration de l'irrationalité de e · Représentations de e · Théorème de Lindemann-Weierstrass

Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur les nombres rationnels, alors e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n}\, sont algébriquement indépendants sur les nombres algébriques.

En d'autres termes, l'ensemble \{e^{\alpha_1}, \cdots , e^{\alpha_n}\}\, possède le degré de transcendance n sur \Bbb{Q}. Une formulation équivalente du théorème est la suivante : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont des nombres algébriques distincts alors les e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont linéairement indépendants sur les nombres algébriques, c’est-à-dire:

a_1e^{\alpha_1} + a_2e^{\alpha_2} + ... + a_ne^{\alpha_n}\neq 0

avec les ai algébriques non tous nuls.

Le théorème fut nommé ainsi en l'honneur de Ferdinand von Lindemann, qui prouva le cas particulier de la transcendance de π, et Karl Weierstrass.

Transcendance de e et π

La transcendance de e et celle de pi sont des corollaires immédiats de ce théorème. Supposons que α soit un nombre algébrique différent de zéro ; alors {α} est un ensemble linéairement indépendant sur les nombres rationnels, et par conséquent {eα} possède un degré de transcendance égal à un sur les nombres rationnels ; en d'autres termes eα est transcendant.

En utilisant l'autre formulation, nous pouvons argumenter que si {0,α} est un ensemble de nombres algébriques distincts, alors l'ensemble {e0,eα}} = {1,eα}} est linéairement indépendant sur les nombres algébriques, et ainsi eα est immédiatement vu comme étant transcendant. En particulier, e1 = e est transcendant. Donc, si β = eiα est transcendant, alors sa partie réelle et sa partie imaginaire :

\cos(\alpha) = \mathrm{Re}(\beta) = \frac{\beta + \beta^{-1}}{2}

et

\sin(\alpha) = \mathrm{Im}(\beta) = \frac{\beta - \beta^{-1}}{2i}

le sont aussi. Car sinon on aura:

2cos(α)eiαe2iα − 1 = 0

et

2isin(α)eiαe2iα + 1 = 0

ce qui est absurde.

Par conséquent, si π était algébrique, cos(π) = − 1 et sin(π) = 0 seraient transcendants, ce qui prouve par l'absurde que π n'est pas algébrique, autrement dit qu'il est transcendant.

Conjecture p-adique

La conjecture p-adique de Lindemann-Weierstrass affirme que ce résultat est vrai pour les nombres p-adique : si \alpha_1, \cdots, \alpha_n\, sont un ensemble de nombres algébriques linéairement indépendants sur les nombres rationnels tels que | αi | p < 1 / p pour un certain nombre premier p, alors les exponentielles p-adiques e^{\alpha_1} \cdots e^{\alpha_n} sont transcendantes algébriquement indépendantes.

L'impossible quadrature du cercle

Lindemann montre que le problème de la quadrature du cercle se résume à la transcendance de la racine du nombre π. En prouvant que ce nombre n'est pas transcendant, il parvient à montrer qu'il est impossible de fabriquer un carré dont le centre gravité serait confondu avec l'origine d'un disque et qui aurait même aire que celui-ci, résolvant ainsi par la négative l'un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l'Antiquité.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Th%C3%A9or%C3%A8me de Lindemann-Weierstrass ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Theoreme de Lindemann-Weierstrass de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorème de lindemann-weierstrass — Article d une série sur la constante mathématique e …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Lindemann-Weierstrass — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass. En mathématiques, le théorème de Lindemann Weierstrass établit que si sont des nombres algébriques qui sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors sont… …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'Hermite-Lindemann — Le théorème d’Hermite Lindemann affirme que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant. Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann. En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de… …   Wikipédia en Français

  • Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Weierstrass — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs théorèmes sont attribués à Karl Weierstrass ou le mentionnent dans leur nom. Théorème de Bolzano Weierstrass Théorème de factorisation de… …   Wikipédia en Français

  • Lindemann — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Pour consulter un article plus général, voir : Nom de famille germanique. Lindemann est un nom de famille notamment porté par : Ernst Lindemann… …   Wikipédia en Français

  • Karl Weierstrass — Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde en Westphalie ( …   Wikipédia en Français

  • Karl Theodor Wilhelm Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Ferdinand Von Lindemann — Pour les articles homonymes, voir Lindemann. Ferdinand von Lindemann Carl Louis Ferdinand von Lindemann …   Wikipédia en Français

  • Ferdinand von lindemann — Pour les articles homonymes, voir Lindemann. Ferdinand von Lindemann Carl Louis Ferdinand von Lindemann …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”