Théorème de Helmholtz-Hodge

Théorème de Helmholtz-Hodge

Le théorème de Helmholtz-Hodge est un théorème d'analyse vectorielle qui exprime la décomposition d'un champ vectoriel en une partie « polaire » et une partie « axiale ».

Théorème de Helmoltz — Soit un champ de vecteurs \vec{V}(M) « créé » par une source scalaire ρ(M) (sa divergence) et par une source de vortex \vec{j}(M) (son rotationnel), sources dont les supports sont compacts, et une condition aux limites : le champ s'annule à l'infini comme O(1 / r2). Alors ces conditions, que l'on peut reformuler ainsi :

  1. \vec{\nabla} \cdot \vec{V}(M) = \rho(M),
  2. \vec{\nabla} \wedge\vec{V}(M)= \vec{j}(M) ,
  3. \vec{V}(M) s'annule à l'infini,

entraînent \vec{V}(M) = \vec{E}(M) + \vec{B}(M), où

  • \vec{E}(M) = \frac{1}{4\pi}\cdot \iiint_{(D)} \mathrm{d}\tau_P \cdot \rho(P)\cdot \frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3}
  • \vec{B}(M) = \frac{1}{4\pi}\cdot \iiint_{(D)} \mathrm{d}\tau_P \cdot \vec{j}(P) \wedge \frac{\overrightarrow{PM}}{PM^3}

Les notations sont issues de l'électromagnétisme mais le théorème s'applique aussi en mécanique des fluides, en sismologie, etc.

Démonstration de la décomposition

On donnera ici la démonstration plus précise pour un domaine compact (D), avec B(M) parallèle à la frontière de (D). Alors :

Théorème — V(M) se décompose de manière unique en E(M) + B(M).

Lemme d'orthogonalité sur (D) — Les deux composantes sont orthogonales sur (D).

\iiint_{(D)} \mathrm{d}\tau_P \vec{B}(P) \cdot \vec{E}(P) = 0
En effet, on pose
\vec{E}(M) = - \overrightarrow\operatorname{grad}\,p(P) ;
c'est possible puisque son rotationnel est nul. Alors puisque
\operatorname{div} (p\vec{B}) = p \cdot \operatorname{div} \vec{B} + \overrightarrow\operatorname{grad}\,p \cdot \vec{B},
il s'ensuit par le théorème de flux-divergence que :
\int_D \mathrm{d}\tau_P \cdot \vec{B}(P)\cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,p(P)= \int_D \mathrm{d}\tau_P \cdot \operatorname{div}\bigl(p(P)\cdot \vec{B}(P)\bigr) = \int_{\partial D} \mathrm{d}S_Q \cdot p(Q)\vec{B}(Q)\cdot \vec{n}(Q) = 0

Lemme d'unicité — La décomposition en B(M) et E(M) est unique.

Démonstration par l'absurde : prendre la différence des 2 champs V1 et V2 et prendre sur (D) son produit scalaire avec B1-B2 : il va rester en vertu du lemme précédent uniquement la norme sur (D) de B1-B2, nulle : donc B1(M) = B2(M) et donc p1(M) = p2(M).

Lemme d'existence — La divergence de V(M) est le laplacien de p(M) ; et sur la frontière V(Q).n(Q) donne une condition de Neumann sur p(Q) : le problème est donc un problème de Neumann, et donc p(M) existe et est unique, donc E(M) existe et est unique, donc sa différence avec V(M) soit -B(M) existe et est unique. \square

Formule d'Helmholtz

Le problème de la frontière est reporté à une sphère de très grand rayon que l'on fait tendre vers l'infini. En tout point Q de cette frontière, B(Q) est quasiment nul , donc la condition précédente est valable. Quant à l'intégrale sur la frontière , avec B(Q) qui décroît comme 1/r³ , l'intégrale est majorée par K/r qui tend vers zéro. Le théorème précédent s'applique aussi au cas d'Helmholtz.

Le problème est linéaire : on ajoute donc la solution « électrostatique » et la solution « magnétostatique ». \square

Voir aussi

v · Analyse vectorielle
Objets d'étude Champ de vecteurs • Champ scalaire • Équation aux dérivées partielles (de Laplace et de Poisson) Champ vectoriel
Opérateurs Nabla • Gradient • Rotationnel • Divergence • Laplacien scalaire • Bilaplacien • Laplacien vectoriel • D'alembertien
Théorèmes de Green • de Stokes • de Helmholtz • de flux-divergence • du gradient • du rotationnel

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Helmholtz-Hodge de Wikipédia en français (auteurs)

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