Théorème de Cayley

Théorème de Cayley: En théorie des groupes, le théorème de Cayley^[1] est un résultat élémentaire affirmant que tout groupe se réalise comme sous-groupe d'un groupe de permutations :

Théorème — Tout groupe $G$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}(G)$ des permutations de $G$ . En particulier, si $G$ est un groupe fini d'ordre $n$ , il est isomorphe à un sous groupe de $\mathfrak{S}_n$ .

Remarques

Notons qu'il plonge un groupe de cardinal fini $n$ , dans un autre groupe de cardinal $n!$ .

Ce théorème est utilisé pour la théorie de représentation des groupes. Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$ et $(e 1,..., e n)$ une base d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ . Le théorème de Cayley indique que $G$ est isomorphe à un groupe de permutation des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme qui ici par définition est un automorphisme. Cela définit une représentation du groupe, on parle alors de représentation régulière.

Démonstration

Soit $G$ un groupe et $g~$ un élément de ce groupe. On définit l'application $t_g~$ de $G$ dans $G$ comme étant la translation à gauche :
$\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx$ .
L'associativité de la loi de groupe permet de montrer :
$(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h$ .
On en déduit en particulier que $t g$ est une permutation (de bijection réciproque $t_{g^{-1}}$ ), ce qui permet de définir une application $φ$ de $G$ dans $\mathfrak{S}(G)$ par :
$\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g$

D'après $(\star)$ , $φ$ est un morphisme de groupes.

Par conséquent, l'image de $φ$ , notée Im( $φ$ ), est un sous-groupe de $\mathfrak{S}(G)$ .

Montrons que $φ$ est injective. Pour cela considérons $g$ et $h$ deux éléments du groupe. Si $t g$ et $t h$ sont égales, alors les images de l'élément neutre par ces deux applications sont aussi égales et $g$ est égal à $h$ . Ceci montre que l'application est injective.

L'application de $G$ dans Im( $φ$ ) qui à tout élément $g~$ de $G$ associe $φ(g)$ est donc, elle aussi, un morphisme injectif. Elle est de plus surjective par construction, donc c'est un isomorphisme de groupes : le théorème est ainsi démontré.

Note et référence

↑ (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ=1 », dans Philos. Mag., vol. 7, n^o 4, 1854, p. 40–47 .

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