Théorème de Cayley

Théorème de Cayley: En théorie des groupes, le théorème de Cayley^[1] est un résultat élémentaire affirmant que tout groupe se réalise comme sous-groupe d'un groupe de permutations :

Théorème — Tout groupe $G$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}(G)$ des permutations de $G$ . En particulier, si $G$ est un groupe fini d'ordre $n$ , il est isomorphe à un sous groupe de $\mathfrak{S}_n$ .

Remarques

Notons qu'il plonge un groupe de cardinal fini $n$ , dans un autre groupe de cardinal $n!$ .

Ce théorème est utilisé pour la théorie de représentation des groupes. Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$ et $(e 1,..., e n)$ une base d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ . Le théorème de Cayley indique que $G$ est isomorphe à un groupe de permutation des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme qui ici par définition est un automorphisme. Cela définit une représentation du groupe, on parle alors de représentation régulière.

Démonstration

Soit $G$ un groupe et $g~$ un élément de ce groupe. On définit l'application $t_g~$ de $G$ dans $G$ comme étant la translation à gauche :
$\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx$ .
L'associativité de la loi de groupe permet de montrer :
$(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h$ .
On en déduit en particulier que $t g$ est une permutation (de bijection réciproque $t_{g^{-1}}$ ), ce qui permet de définir une application $φ$ de $G$ dans $\mathfrak{S}(G)$ par :
$\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g$

D'après $(\star)$ , $φ$ est un morphisme de groupes.

Par conséquent, l'image de $φ$ , notée Im( $φ$ ), est un sous-groupe de $\mathfrak{S}(G)$ .

Montrons que $φ$ est injective. Pour cela considérons $g$ et $h$ deux éléments du groupe. Si $t g$ et $t h$ sont égales, alors les images de l'élément neutre par ces deux applications sont aussi égales et $g$ est égal à $h$ . Ceci montre que l'application est injective.

L'application de $G$ dans Im( $φ$ ) qui à tout élément $g~$ de $G$ associe $φ(g)$ est donc, elle aussi, un morphisme injectif. Elle est de plus surjective par construction, donc c'est un isomorphisme de groupes : le théorème est ainsi démontré.

Note et référence

↑ (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ=1 », dans Philos. Mag., vol. 7, n^o 4, 1854, p. 40–47 .

Portail des mathématiques

Catégories :
Théorie des groupes
Théorème d'algèbre

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Cayley de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Theoreme de Cayley — Théorème de Cayley En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire affirmant que tout groupe se réalise comme sous groupe d un groupe de permutations : Théorème Tout groupe G est isomorphe à un sous… … Wikipédia en Français
Théorème de cayley — En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire affirmant que tout groupe se réalise comme sous groupe d un groupe de permutations : Théorème Tout groupe G est isomorphe à un sous groupe du groupe… … Wikipédia en Français
Theoreme de Cayley-Hamilton — Théorème de Cayley Hamilton Pour les articles homonymes, voir Hamilton. En algèbre linéaire, le théorème de Cayley Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d un espace… … Wikipédia en Français
Théorème de cayley-hamilton — Pour les articles homonymes, voir Hamilton. En algèbre linéaire, le théorème de Cayley Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d un espace vectoriel de dimension finie sur… … Wikipédia en Français
théorème de Cayley-Hamilton — ● théorème de Cayley Hamilton Théorème selon lequel tout endomorphisme d un K espace vectoriel de dimension n ou toute matrice A de Mn(K) annule son polynôme caractéristique P, soit P(f) = 0 ou P(A) = 0 … Encyclopédie Universelle
Théorème de Cayley-Hamilton — Ne pas confondre avec le théorème de Cayley en théorie des groupes ni avec le théorème d Hamilton en géométrie. En algèbre linéaire, le théorème de Cayley Hamilton affirme que tout endomorphisme d un espace vectoriel de dimension finie sur… … Wikipédia en Français
Cayley-Hamilton — Théorème de Cayley Hamilton Pour les articles homonymes, voir Hamilton. En algèbre linéaire, le théorème de Cayley Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d un espace… … Wikipédia en Français
Théorème de Hamilton-Cayley — Théorème de Cayley Hamilton Pour les articles homonymes, voir Hamilton. En algèbre linéaire, le théorème de Cayley Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que tout endomorphisme d un espace… … Wikipédia en Français
Theoreme de la base incomplete — Théorème de la base incomplète Le théorème de la base incomplète énonce que toute famille libre de vecteurs d un espace vectoriel E peut être complétée pour obtenir une base de E. Sommaire 1 Enoncé 2 Démonstration 2.1 … Wikipédia en Français
Théorème de Baire-Brenef — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Théorème de Cayley

Remarques

Démonstration

Note et référence

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Théorème de Cayley

Remarques

Démonstration

Note et référence

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link