Théorème de Bolzano-Weierstrass

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En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Sommaire

1 Énoncé du théorème
2 Démonstration
- 2.1 Sens direct
- 2.2 Sens réciproque
3 Énoncé dans le cas réel
4 Références
5 Article connexe

Énoncé du théorème

Un espace métrique $(X,d)~$ est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite d'éléments de $X~$ admet une valeur d'adhérence dans $X~$ ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X~$ .

Cet énoncé peut se décomposer en :

(sens direct) Dans un espace compact (non nécessairement métrisable), toute suite admet une valeur d'adhérence.
(valeur d'adhérence dans un métrique) Dans tout espace topologique, si un élément $a~$ est limite d'une sous-suite d'une suite $(x_n)~$ alors $a~$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)~$ . Dans un espace métrique, la réciproque est vraie.
(sens réciproque) Si $(X,d)~$ est un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X~$ , alors $X~$ est compact.

Démonstration

Sens direct

On suppose que $X~$ est compact : si toute intersection finie d'une famille de fermés est non vide, alors l'intersection de toute la famille est non vide.

Soit $\left(x_{n}\right)$ une suite d'éléments de $X~$ . Montrons que $\left(x_{n}\right)$ admet une valeur d'adhérence.

Notons $F_n=\overline{\left\{ x_{k},k\ge n\right\} }$ (où $\overline{A}$ désigne l'adhérence de A). L'ensemble des valeurs d'adhérence de $\left(x_n\right)$ est par définition l'intersection de la suite de fermés $F_n~$ . Il suffit donc de montrer que pour tout ensemble fini (non vide) $J~$ d'entiers, $\bigcap_{n\in J}F_n$ est non vide. Or la suite des ensembles $F_n~$ est décroissante, donc $\bigcap_{n\in J}F_n=F_p$ pour $p = \max \{n; n \in J\}$ . Et ce $F_p~$ contient $x_p~$ donc est non vide, ce qui conclut.

Sens réciproque

Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.

Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)

Si $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact $X$ , alors

$\exists r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\forall x\in X,\exists i\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i}$

c'est-à-dire qu'il existe des $r>0~$ tels que toute boule ouverte de rayon $r~$ soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.

Démonstration

Par l'absurde. On suppose $\forall r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\exists x\in X,\forall i\in I,B\left(x,r\right)\not\subset U_i$ en particulier $\forall n\in\mathbb{N},\exists x_{n}\in X,\forall i\in I,B\left(x_{n},2^{-n}\right)\not\subset U_i$ .

$X~$ est séquentiellement compact donc il existe une suite extraite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ de $\left(x_{n}\right)$ convergeant vers un $x\in X$ .

Comme les $U_{i}~$ recouvrent $X~$ , au moins l'un d'entre eux, $U_{i_{0}}$ , contient $x~$ , donc (puisqu'il est ouvert) contient une boule de centre $x~$ et de rayon $ε > 0$ .

Or pour $n~$ assez grand, $d\left(x_{\varphi\left(n\right)},x\right)+2^{-\varphi(n)}\leq\varepsilon$ . On a alors $B\left(x_{\varphi\left(n\right)},2^{-\varphi\left(n\right)}\right)\subset U_{i_{0}}$ ce qui est absurde.

Deuxième lemme (précompacité)

Si $X$ est séquentiellement compact alors pour tout $r > 0$ , $X$ est recouvert par un nombre fini de boules de rayon $r$ .

Démonstration

Par l'absurde. On nie le résultat, puis on construit une suite qui nous permettra de trouver une contradiction. On suppose donc que pour un certain $r > 0$ , aucune union finie de boules de rayon $r$ ne remplit $X$ . Ceci permet de construire par récurrence une suite $(x n)$ de points de $X$ telle que pour tout $n$ , $x_{n+1}\notin\bigcup_{k=0}^{n}B\left(x_{k},r\right)$ . Cette suite vérifie alors

que $\forall\left(i,j\right)\in\mathbb{N}^{2},i\neq j\Rightarrow d\left(x_{i},x_{j}\right)\geq r$ donc $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'admet pas de sous-suite convergente, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que

X

est séquentiellement compact.

Fin de la démonstration du théorème

Supposons $X$ séquentiellement compact et prouvons qu'il est compact. Soit $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ .

D'après le premier lemme, il existe $r > 0$ tel que $\forall x\in X,\exists i\left(x\right)\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i\left(x\right)}$ . Fixons un tel $r$ .

D'après le lemme de précompacité, il existe une partie finie $Y$ de $X$ telle que $\textstyle X=\bigcup_{x\in Y}B\left(x,r\right)$ .

On en déduit alors que la sous-famille finie $\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}$ recouvre $X$ .

Énoncé dans le cas réel

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de $\R$ sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

Démonstration élémentaire

Soit $(x_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs dans un segment $[a, b]$ de $\R$ . La démonstration procède en deux temps :

1) Construction de deux suites $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle

[a, b]

contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et que

$\forall n\in\mathbb{N},\ b_n-a_n= \frac{b-a}{2^n}$

2) Construction de la suite extraite.

1) Construction par dichotomie des suites $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ )

On définit $a 0$ par $a 0 = a$ et $b 0$ par $b 0 = b$ .

Pour tout entier naturel $n$ , si l'intervalle $\left[ a_n , \frac{a_n+b_n}{2} \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , on pose $a n + 1 = a n$ et $b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ .

Sinon, l'intervalle $\left[ \frac{a_n+b_n}{2},b_n \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ , on pose alors $a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ et $b n + 1 = b n$ .

On vérifie que ces deux suites ainsi construites sont adjacentes et que l'intervalle $[a, b]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ .

2) Construction par récurrence de la suite extraite convergente

Cela revient à dire que nous cherchons une fonction $φ$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ strictement croissante, telle que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}}$ soit convergente. Construisons alors la fonction $\varphi\;$ par récurrence.

Posons $φ(0) = 0$ . Pour tout entier $n$ , prenons pour $φ(n + 1)$ le plus petit entier $m$ strictement supérieur à $φ(n)$ tel que $x_m\in \left[ a_{n+1},b_{n+1} \right]$ (cet entier existe puisque $\left[ a_{n+1}\ ,b_{n+1}\ \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ). La fonction $\varphi\;$ est donc bien définie par récurrence et par construction cette fonction est strictement croissante et vérifie la propriété:

$\forall n\in\mathbb{N},\ \forall n_1>n,\ \forall n_2>n,\ |x_{\varphi(n_1)}-x_{\varphi(n_2)}|<\frac{b-a}{2^n}\;$

Cette propriété nous montre que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}} \;$ vérifie le critère de Cauchy, elle est donc convergente vers un réel $\ell$ appartenant à l'intervalle

[a, b]

Références

Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001

Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995

Article connexe

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