Théorème d'interversion série-intégrale

Théorème d'interversion série-intégrale

Théorème d'intégration termes à termes de la fonction somme d'une série de fonctions

Soient \scriptstyle(X,\mathcal A,\mu) un espace mesuré complet (par exemple un intervalle de ℝ, muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue), E un espace euclidien (par exemple ℝ ou ℂ) et \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions intégrables de X dans E. On suppose que la série numérique \scriptstyle\sum_n\left(\int\|f_n\|~\mathrm d\mu\right) converge.

Alors la série de fonctions \scriptstyle\sum f_n converge presque partout sur X vers une fonction intégrable et

\int\left(\sum_{n=0}^\infty f_n\right)~\mathrm d\mu=\sum_{n=0}^\infty\left(\int f_n~\mathrm d\mu\right).
Remarques.

Théorème d'intégration termes à termes (version convergence uniforme sur un segment)

Soient I un segment de ℝ et \scriptstyle(f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions continues sur I et à valeurs dans E. On suppose que la série de fonctions \scriptstyle\sum f_n converge uniformément sur I vers une fonction S. Alors S est continue et :

\int_IS(x)~\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\left(\int_If_n(x)~\mathrm dx\right).

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'interversion série-intégrale de Wikipédia en français (auteurs)

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