Théorème d'inversion de Lagrange
- Théorème d'inversion de Lagrange
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En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement.
Formule générale
Si z est une fonction de x, de y et d'une fonction f tel que
- z = x + yf(z)
alors pour toute fonction g, on a

pour y petit.
Si g est la fonction identité on obtient alors

Cas de la réciproque
Si on prend x = 0 et
où h est une fonction analytique telle que h(0) = 0 et
, on obtient la relation y = h(z) et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction h − 1, à savoir :

les dérivées étant calculées en x = 0.
Exemple
Pour h(z) = zez, on obtient
en x = 0. Cela donne le développement en série de la fonction W de Lambert.

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2010.
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