Théorème d'inversion de Lagrange

Théorème d'inversion de Lagrange

En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement.

Sommaire

Formule générale

Si z est une fonction de x, de y et d'une fonction f tel que

z = x + yf(z)

alors pour toute fonction g, on a

g(z)=g(x)+\sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}\left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(f(x)^kg'(x)\right)

pour y petit.

Si g est la fonction identité on obtient alors

z=x+\sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}\left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(f(x)^k\right)

Cas de la réciproque

Si on prend x = 0 et f(z) = \frac{z}{h(z)} où h est une fonction analytique telle que h(0) = 0 et h'(0) \neq 0, on obtient la relation y = h(z) et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction h − 1, à savoir :

z = h^{-1}(y) = \sum_{k=1}^\infty\frac{y^k}{k!}\left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(\frac{x}{h(x)} \right)^k

les dérivées étant calculées en x = 0.

Exemple

Pour h(z) = zez, on obtient \left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1}\left(\frac{x}{h(x)} \right)^k = \left(\frac\partial{\partial x}\right)^{k-1} e^{-kx} = (-k)^{k-1} en x = 0. Cela donne le développement en série de la fonction W de Lambert.

h^{-1}(y) = W_0 (y) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-k)^{k-1}y^k}{k!}

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