Théorème d'interversion des limites

Théorème d'interversion des limites

Le théorème d'interversion des limites est un théorème qui s'applique à une suite de fonction à valeurs dans un espace complet.


Énoncé :

Soit une suite de fonctions f_{n} : A \rightarrow F, où F un espace complet.
Si on suppose que :

  • fn converge uniformément vers f sur A
  • a est un point adhérent à A
  • \forall n, f_{n} \underset{x \rightarrow a}{\longrightarrow} l_{n} (chaque fn converge vers ln en a)

Alors :

  • la suite (ln)n converge vers une limite l dans F
  • et f \underset{x \rightarrow a}{\longrightarrow} l (f converge vers l en a).


On peut résumer ce résultat en disant que sous convergence uniforme, on peut intervertir les symboles « limite » :

\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow a} f_{n}(x) = \lim_{x \rightarrow a} \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'interversion des limites de Wikipédia en français (auteurs)

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