Théorie des langages et automates

Théorie des langages et automates

Théorie des langages

La théorie des langages a pour objectif de comprendre le fonctionnement des langages, vus comme moyen de communication, d'un point de vue mathématique.

Un langage est un ensemble de mots. Un mot (ou lexème) est une combinaison de signes élémentaires. L'ensemble de ces signes élémentaires est appelé alphabet. La fonction associant l'alphabet au langage est appelée grammaire. On peut associer à une grammaire un automate permettant de déterminer si un mot fait partie d'un langage.

Parmi les applications pratiques de la théorie des langages, on trouve en particulier les compilateurs, en informatique

Mots

On se donne un ensemble X, appelé alphabet dont les éléments sont appelés des lettres.

  • Un mot de longueur k est un k-uplet de lettres u = (a1,a2,...,ak).
  • \displaystyle X^k=\underbrace{X.X...X}_{k\, fois} est l'ensemble des mots de longueur k
  • X^*=\bigcup_{k \in \mathbb{N}} X^k\, est l'ensemble des mots.
  • ε ou () est le mot vide de longueur 0.
  • On définit sur X^*\,, une loi de composition interne appelée concaténation.

(a_1,...,a_n).(b_1,...,b_m)=(a_1,...,a_n,b_1,...,b_m)\, (de longueur n + m).

Cette loi de composition interne est associative et admet le mot vide pour élément neutre, par conséquent \langle X^*,\cdot,\epsilon \rangle\, est un monoïde, appelé monoïde libre sur X\,.

Remarque: Tout mot (a1,...,an) est égal au concaténé (a1).(a2)...(an). En identifiant les mots de longueur 1 aux lettres, on écrit donc le mot sous la forme: u=a_1.a_2...a_n\,

Langages

Un ensemble de mots sur X est appelé un langage. Les langages peuvent être caractérisés par les moyens qui permettent de les décrire, par exemple :

Voir aussi

Informatique théorique
Théorie du calcul
Calculabilité Décidabilité et indécidabilité • Ensemble récursif • Problème de l'arrêt • Récursivement énumérable
Modèle de calcul Automate fini • Automate cellulaire • Machine de Turing • Thèse de Church
Modes de calcul Concurrence • Parallèlisme • Théorie de l'ordonnancement
Mesure et échelle de complexité Réduction polynomiale • Problème NP-complet
Logique, syntaxe et sémantique
Logique mathématique Assistant de preuve • Calcul des prédicats • Correspondance de Curry-Howard • Fonction récursive • Lambda-calcul • Théorème d'incomplétude de Gödel • Théorie des types
Grammaire formelle et systèmes de réécriture Compilation • Expression rationnelle • Grammaire formelle • Langage rationnel • Théorie des langages
Sémantique Sémantique des langages de programmation • Sémantique dénotationnelle • Sémantique axiomatique • Sémantique opérationnelle
Spécifier, vérifier et concevoir des programmes Interprétation abstraite • Méthodes formelles • Model checking
Algorithmique, complexité et mathématiques discrètes
Algorithmique Algorithme génétique • Algorithme glouton • Algorithme probabiliste • Complexité algorithmique • Diviser pour régner • Heuristique • Programmation dynamique
Problèmes et algorithmes numériques Algorithme du simplexe • Géométrie algorithmique • Algorithme d'Euclide • Test de primalité
Problèmes et algorithmes non-numériques Algorithmes de la théorie des graphes • Arbre (informatique) • Liste (informatique) • Table de hachage • Tas (informatique)
Théorie des graphes Coloration de graphe • Problèmes de cheminement
Recherche opérationnelle Optimisation • Optimisation combinatoire • Théorie de l'ordonnancement
Données et codage Codage • Codage de l'information • Compression de données • Cryptage • Cryptanalyse • Cryptographie • Théorie de l'information
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