Theorie des automates finis

Theorie des automates finis

Théorie des automates finis

Sommaire

Langages formels

Alphabet

On appelle alphabet tout ensemble Σ fini, non vide. Les éléments de Σ sont appelés lettres.

Mot

On appelle mot toute suite d'éléments de \Sigma ^{\N} à support fini, on pose ε la suite vide dit le mot vide. L'ensemble des mots sur Σ est noté Σ * .

L'opération fondamentale sur les mots est la concaténation, notée \cdot, elle est définie ainsi :

Soit deux mots u = (a1,...,an) et v = (b1,...,bn).

On a alors,

  • u \cdot \epsilon = \epsilon \cdot u =u
  • u \cdot v = (a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n})

La concaténation est associative : u \cdot{} (v \cdot w) = (u \cdot v) \cdot w

Par conséquent :

(\Sigma^{*}, \cdot) est un monoïde, c’est-à-dire que \cdot est associative et possède pour élément neutre \epsilon \in \Sigma^{*}.

Définitions

Automate fini

On appelle automate fini le quintuplet A = < Σ,Q,δ,I,F > , où :

  • Σ est un alphabet,
  • Q est un ensemble d'états stables,
  • I est une partie de Q appelée ensemble des états initiaux,
  • F est une partie de Q appelée ensemble des états finaux,
  • δ est une partie de Q \times \Sigma \times Q appelée ensemble des transitions. C'est une fonction de transition qui à un état du système et un élément de l'alphabet associe le passage à un autre état.

Chemin

Un chemin est une suite de flèches consécutives. On note un chemin :

(q_0, a_1, q_1)\cdots(q_{k-1}, a_k, q_k), avec q_i \in Q, a_i \in \Sigma, (q_{i-1}, a_i, q_i) \in \delta.

On appelle trace ou étiquette la suite de lettres reconnue a_1\cdots a_k

On dit qu'un chemin est réussi lorsque q_0 \in I et q_k \in F

Un mot est reconnu lorsqu'il est l'étiquette d'un chemin réussi.

Accessibilité

Un état, q\in Q, est dit :

  • accessible si et seulement s'il existe un chemin partant d'un état initial et allant jusqu'à q ;
  • coaccessible si et seulement s'il existe un chemin partant de l'état q et allant jusqu'à un état final.

Un automate est dit :

  • accessible si et seulement si tous ses états sont accessibles ;
  • coaccessible si et seulement si tous ses états sont coaccessibles ;
  • émondé s'il est accessible et coaccessible.

Déterminisme

Un automate est déterministe si et seulement s'il possède un seul état initial et pour chaque état, il existe au plus une flèche sortante pour chaque lettre, c’est-à-dire si \forall q\in Q,\forall a\in \Sigma, |\delta(q,a)| \leq 1

Voir aussi

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