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Suite (mathématiques)
Pour les articles homonymes, voir Suite.En mathématiques, une suite est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de dans E. On note classiquement une suite (un), ou .
Cas particuliers :
- Si , alors la suite est dite « entière ».
- Si , alors la suite est dite « réelle ».
- Si , alors la suite est dite « complexe ».
- Si (un) est une suite et que , alors (un) est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang », ou encore « cofinale à zéro ».
Sommaire
Fragments d'histoire
Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, dans la mathématique babylonienne, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou en Égypte vers 1700 avant Jésus-Christ et plus récemment au 1er siècle après Jésus-Christ dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie :
- Pour extraire la racine carrée de , choisir une expression arbitraire et prendre la moyenne entre et et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent
En notation moderne, cela définit la suite de nombres (un) telle que
- et, pour tout entier ,
On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du XVIIe siècle) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence :
- Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie (...) on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité.
C'est ainsi que l'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières.
Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.
Notations
Soit A une partie de . Soit une suite d'éléments de E. Nous notons un l'image u(n) de l'entier n par u.
Ainsi, les images de sont notées .
On dit que un est le terme de rang n, ou d'indice n de la suite u.
Nous notons en général la suite u : qui est donc une application.
Lorsque , nous notons plus simplement la suite : .
Lorsque , nous pouvons noter la suite ou encore .
L'ensemble des suites d'éléments de E indexées par une partie A de se note ou EA.
Remarque
Nous ne devons pas confondre la suite avec l'ensemble des valeurs de la suite qui est l'image directe de par u. Par exemple, considérons la suite , l'ensemble des valeurs de la suite est { − 1,1}.
Exemples
La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :
Pour des raisons de commodité, pour tout élément k de E on peut identifier k et la suite :
Posons ; est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par:
Terme général et récurrence
Une suite étant une application de A (partie de ) dans E , il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si un est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de un.
Cependant, si , la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. La propriété de récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner pour en déduire tous les termes. En pratique, la détermination de va nécessiter le calcul de tous les termes de à , soit une opération bien longue. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.
Exemple : la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier n, un + 1 = (n + 1)un est la suite des factorielles : un = n!
Somme des termes d'une suite
Si E est un groupe additif, on note :
ou
la somme :
Voir aussi : Série (mathématiques).Exemples de suites
Suite arithmétique
Article détaillé : Suite arithmétique.C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par
où r est une constante. Son terme général est alors
Suite géométrique
Article détaillé : Suite géométrique.C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par
Où q est une constante. Son terme général est alors
Suites arithmético-géométriques
Article détaillé : Suite arithmético-géométrique.C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par
- Si a = 1, la suite est arithmétique
- Si son terme général est alors
Suites récurrentes linéaires à coefficients constants
Article détaillé : suite récurrente linéaire.Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :
où a0, a1, …ap − 1 sont p scalaires (a0 non nul). L’entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Sont entièrement connues les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 (suite géométrique) et 2 (suite récurrente linéaire). Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel.
Quelques suites célèbres
Il est assez surprenant que ce soit dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres :
- la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or
- la suite de Conway, piège de test de QI, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent
- la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de un si celui-ci est impair. La convergence de cette suite reste encore une énigme pour les mathématiciens.
Limite de suite
- Voir article détaillé: Limite de suite
Suite convergente
La notion de limite d'une suite est classique en topologie et les cas de convergence dans ou sont un cas particulier de cette définition. De façon simpliste, une suite a une certaine limite lorsque ses points se rapprochent de la valeur limite lorsque l'indice devient grand.
Définition générale :
Soit E un espace muni d'une topologie . On note l'ensemble des ouverts contenant u.
On dira que la suite est une suite convergente vers si- , tel que , .
Cette définition se traduit plus simplement pour des suites convergente dans ou
Suite réelle convergente
On dira que la suite u est convergente vers u * lorsque pour tout , il existe tel que pour tout , n > N:
On dit alors que u tend vers u * , et on le note :
Suite complexe convergente
La même définition s'applique en écrivant, à la place d'une valeur absolue, un module.
Limites infinies
Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies et avec les définitions suivantes
Définition 1 :
On dira que la suite u est divergente vers lorsque pour tout , il existe tel que pour tout , n > N:
- un > M
On dit alors que u tend vers , et on le note :
Définition 2 :
On dira que la suite u est divergente vers si, pour tout , il existe tel que pour tout , n > N:
- un < − M
On dit alors que u tend vers , et on le note :
Propriétés
Les propriétés sur les limites
- Unicité
- Opération
- Complétude
vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article : Limite de suite.
Suites réelles et relation d'ordre
Suites monotones
Définition
On dit qu'une suite réelle est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. Par extension, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Propriétés
- Suite croissante: On dira que la suite est croissante lorsque :
- Suite strictement croissante: On dira que la suite est strictement croissante lorsque :
- Suite décroissante:On dira que la suite est décroissante lorsque :
- Suite strictement décroissante: On dira que la suite est strictement décroissante lorsque :
- Suite super croissante: On dira que la suite est super croissante lorsque :
Exemples
La suite définie par Un = 2n + 1 est strictement croissante sur .
Critères
Propriété 1 : critère de croissance
Propriété 2 : critère de décroissance
Limites de suites monotones
Suite monotone bornée
L'axiome de la borne supérieure, permet de démontrer facilement :
Si est croissante (resp. décroissante) et majorée par M (resp. minorée par m), alors est convergente et .
De cette propriété, découle la remarque suivante :
Si :
- est croissante
- est décroissante
- tel que : on a
alors :
- (u) et (v) sont convergentes et
Suite monotone non bornée
Si est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée ), alors tend vers (resp. )
Suites adjacentes
- voir article détaillé : Théorème des suites adjacentes.
Deux suites réelles et sont dites adjacentes lorsque :
- l'une est croissante
- l'autre est décroissante
- la suite converge vers 0
L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes:
- Si deux suites réelles et sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite .
- De plus, en supposant croissante et décroissante on a :
Suites particulières
Suites de Cauchy
- Voir article détaillé : Suite de Cauchy
Dans ce paragraphe, on supposera que est un espace métrique.
Une suite est dite de Cauchy lorsque : , tels que : , , et
On démontre que
- Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
- Toute suite de Cauchy est bornée.
On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.
Suites extraites
- Voir article détaillé : Sous-suite
Soit une suite à valeurs dans un espace .
Si est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite .
Grosso modo, c'est la suite pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).
Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.
Suites équivalentes
Définition
Soient et deux suites à valeurs réelles. et sont équivalentes si et seulement si
- telle que
- tel que
On note alors
Remarque Si à partir d'un certain rang, alors si et seulement si
Suites prépondérantes
Définition
Soient et deux suites à valeurs réelles. On dit que est négligeable devant si et seulement si :
- telle que et , ce qu'on note un = o(vn)
Remarque Si à partir d'un certain rang, alors un = o(vn) si et seulement si
Exemple
Considérons et
Posons On a alors :D'où
Remarque
L'usage (fréquent dans les articles de cette encyclopédie) du mot séquence est une mauvaise traduction de l'anglais sequence. La bonne traduction est suite.
Voir aussi
- Suite d'entiers
- Adhérence (mathématiques)
- Suite de Skolem
- Théorème de la progression arithmétique
- Suite exacte
Lien externe et sources
- L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot sur Gallica. Tome XV (voir p 93)
- Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]
- Portail des mathématiques
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