Suite de Lucas

Suite de Lucas

En mathématiques, une suite de Lucas est une généralisation de la suite de Fibonacci et des nombres de Lucas. Les suites de Lucas furent étudiées en premier par le mathématicien français Édouard Lucas.

Sommaire

Relations de récurrence

Soient deux entiers donnés P et Q qui satisfont

\Delta=P^2 - 4Q > 0\,

les suites de Lucas U(P,Q)\, et V(P,Q)\, sont définies par les relations de récurrence linéaire

U_0(P,Q) = 0\,
U_1(P,Q) = 1\,
U_n(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) \mbox{ pour }n>1\,

et

V_0(P,Q)=2\,
V_1(P,Q)=P\,
V_n(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) \mbox{ pour }n>1\,

Terme général

Selon la méthode de calcul sur des suites à récurrence linéaire, il suffit de chercher les racines du polynôme caractéristique

x^2 - Px + Q = 0\,

Puisque P2 − 4Q > 0, ce polynôme possède deux racines qui sont a et b. Alors U(P,Q)\, et V(P,Q)\, peuvent aussi être définies en fonction de a et b par

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{\sqrt\Delta}\,
V_n(P,Q)=a^n+b^n\,

à partir desquelles nous pouvons extraire les relations

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt\Delta}2\,
b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt\Delta}2\,

Autres relations

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont aux relations qui sont analogues à celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :

U_{m+n}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}={U_nV_m+U_mV_n\over2} et
V_{m+n}=V_mV_n-Q^mV_{n-m}={\Delta U_mU_n+V_mV_n\over2}~,

en particulier

U_{n+1}={PU_n+V_n\over2}=V_n+QU_{n-1},\qquad V_{n+1}={\Delta U_n+PV_n\over2}=\Delta U_n+QV_{n-1}

et

U_{2n} = U_n V_n,\qquad V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n~.

Cas particuliers

Les suites de Lucas ont des noms spécifiques pour certaines valeurs de P et Q :

U_n(1,-1)\, est appelée suite de Fibonacci et ses valeurs sont les nombres de Fibonacci.
V_n(1,-1)\, est une suite de Lucas, et ses valeurs sont les nombres de Lucas.
U_n(2,-1)\, est appelée suite de Pell et ses valeurs sont les nombres de Pell (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Pell-Lucas ou nombres de Pell compagnons)
U_n(1,-2)\, est appelée suite de Jacobsthal et ses valeurs sont les nombres de Jacobsthal (en) (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Jacobsthal-Lucas).

Articles connexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Sequence », MathWorld


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