Régularité par morceaux

Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux, etc.

Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d’espaces vectoriels emboîtés, notés classe \mathcal C^k par morceaux ou encore \mathcal{C}_I^k.

Sommaire

Sur un segment

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a,b] s’il existe une subdivision \sigma :\; a_0=a<a_1<\dots <a_n=b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai,ai+1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai,ai+1].

Concrètement une telle fonction f est continue sur ]ai,ai+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque ai (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point ai lui-même).

On définit de même les fonctions de classe \mathcal C^k par morceaux, linéaires par morceaux, etc.

On notera qu'une fonction de classe \mathcal C^1 par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en ai, mais qu'elle admet des limites et dérivées à droite et à gauche en ai.

Sur un intervalle

Une fonction est continue (ou autres propriétés) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

En dimension n > 1

Soit \Omega \subset \R^n un ouvert borné et d’adhérence \overline{\Omega}.

Pour simplifier, supposons que \Omega \ soit un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur \R^n).

Alors :

  • Une fonction f \ de \overline \Omega \ dans \R est continue par morceaux (noté \mathcal{C}_I^0(\overline \Omega)) s’il existe m ouverts disjoints \Omega_i \ tels que \overline{\Omega} = \cup_i \overline{\Omega_i} \ et que la restriction de f \ à chacun des \overline \Omega_i \ admette une extension continue dans \R^n.
  • Une fonction f \ de \overline \Omega \ dans \R est de classe \mathcal{C}^k(\overline \Omega) par morceaux (noté \mathcal{C}_I^k(\overline \Omega)) si elle est de classe \mathcal{C}^{k-1}(\overline \Omega) et s’il existe m ouverts disjoints \Omega_i \ tels que \overline{\Omega} = \cup_i \overline{\Omega_i} \ et que la restriction de f \ à chacun des \overline \Omega_i \ est de classe \mathcal{C}^k(\overline \Omega_i).

Domaines où l'on utilise la régularité par morceaux

Voir aussi



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Régularité par morceaux de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Regularite par morceaux — Régularité par morceaux Certaines propriétés d analyse sont énoncées avec des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continu par morceaux, de classe par morceaux, etc. Régularité par morceaux sur un segment Une fonction f est continue par… …   Wikipédia en Français

  • Continu par morceaux — Régularité par morceaux Certaines propriétés d analyse sont énoncées avec des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continu par morceaux, de classe par morceaux, etc. Régularité par morceaux sur un segment Une fonction f est continue par… …   Wikipédia en Français

  • Dérivable par morceaux — Régularité par morceaux Certaines propriétés d analyse sont énoncées avec des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continu par morceaux, de classe par morceaux, etc. Régularité par morceaux sur un segment Une fonction f est continue par… …   Wikipédia en Français

  • Fonction affine par morceaux —  Ne pas confondre avec la notion d application linéaire par morceaux en géométrie. En mathématiques, une fonction affine par morceaux est une fonction définie sur une réunion d intervalles réels et dont la restriction à chacun de ces… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Affine Par Morceaux — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Classe de régularité — En mathématiques et en analyse, les classes de régularité des fonctions numériques constituent un catalogue fragmentaire basé sur l’existence et la continuité des dérivées itérées, sans se préoccuper de la forme ou de l’allure de la fonction… …   Wikipédia en Français

  • Classe De Régularité — En mathématiques, les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées. Si I est un intervalle de , et un entier on note l ensemble des fonctions de I vers …   Wikipédia en Français

  • Classe de regularite — Classe de régularité En mathématiques, les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées. Si I est un intervalle de , et un entier on note l ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Classes de régularité — Classe de régularité En mathématiques, les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées. Si I est un intervalle de , et un entier on note l ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Variable régionalisée — La VR comme phénomène physique : topographie de la ville de Binche …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”