Régularité par morceaux

Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux, etc.

Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d’espaces vectoriels emboîtés, notés classe \mathcal C^k par morceaux ou encore \mathcal{C}_I^k.

Sommaire

Sur un segment

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a,b] s’il existe une subdivision \sigma :\; a_0=a<a_1<\dots <a_n=b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai,ai+1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai,ai+1].

Concrètement une telle fonction f est continue sur ]ai,ai+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque ai (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point ai lui-même).

On définit de même les fonctions de classe \mathcal C^k par morceaux, linéaires par morceaux, etc.

On notera qu'une fonction de classe \mathcal C^1 par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en ai, mais qu'elle admet des limites et dérivées à droite et à gauche en ai.

Sur un intervalle

Une fonction est continue (ou autres propriétés) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

En dimension n > 1

Soit \Omega \subset \R^n un ouvert borné et d’adhérence \overline{\Omega}.

Pour simplifier, supposons que \Omega \ soit un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur \R^n).

Alors :

  • Une fonction f \ de \overline \Omega \ dans \R est continue par morceaux (noté \mathcal{C}_I^0(\overline \Omega)) s’il existe m ouverts disjoints \Omega_i \ tels que \overline{\Omega} = \cup_i \overline{\Omega_i} \ et que la restriction de f \ à chacun des \overline \Omega_i \ admette une extension continue dans \R^n.
  • Une fonction f \ de \overline \Omega \ dans \R est de classe \mathcal{C}^k(\overline \Omega) par morceaux (noté \mathcal{C}_I^k(\overline \Omega)) si elle est de classe \mathcal{C}^{k-1}(\overline \Omega) et s’il existe m ouverts disjoints \Omega_i \ tels que \overline{\Omega} = \cup_i \overline{\Omega_i} \ et que la restriction de f \ à chacun des \overline \Omega_i \ est de classe \mathcal{C}^k(\overline \Omega_i).

Domaines où l'on utilise la régularité par morceaux

Voir aussi



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