- Régularité par morceaux
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En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux, etc.
Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d’espaces vectoriels emboîtés, notés classe
par morceaux ou encore
.
Sommaire
Sur un segment
Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a,b] s’il existe une subdivision
telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai,ai+1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai,ai+1].
Concrètement une telle fonction f est continue sur ]ai,ai+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque ai (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point ai lui-même).
On définit de même les fonctions de classe
par morceaux, linéaires par morceaux, etc.
On notera qu'une fonction de classe
par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en ai, mais qu'elle admet des limites et dérivées à droite et à gauche en ai.
Sur un intervalle
Une fonction est continue (ou autres propriétés) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.
En dimension n > 1
Soit
un ouvert borné et d’adhérence
.
Pour simplifier, supposons que
soit un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur
).
Alors :
- Une fonction
de
dans
est continue par morceaux (noté
) s’il existe m ouverts disjoints
tels que
et que la restriction de
à chacun des
admette une extension continue dans
.
- Une fonction
de
dans
est de classe
par morceaux (noté
) si elle est de classe
et s’il existe m ouverts disjoints
tels que
et que la restriction de
à chacun des
est de classe
.
Domaines où l'on utilise la régularité par morceaux
- Certaines théories simplifiées de l'intégration
- Les séries de Fourier
Voir aussi
- Une fonction
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