Classe de régularité

En mathématiques et en analyse, les classes de régularité des fonctions numériques constituent un catalogue fragmentaire basé sur l’existence et la continuité des dérivées itérées, sans se préoccuper de la forme ou de l’allure de la fonction (monotonie, convexité, zéros, etc).

Toutefois, les classes de régularité ne reflètent en aucun cas une typologie exhaustive des fonctions : en particulier, les critères portent sur la globalité du domaine de définition.

Domaine en dimension n = 1

Si $J$ est un intervalle de $\R$ et $k \geq 1$ un entier, on considère les espaces fonctionnels suivants :

$\mathcal{C}^0(J,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $J$ vers $\R$ .
$\mathcal{D}^k(J,\R)$ l'ensemble des fonctions de $J$ vers $\R$ qui sont $k$ fois dérivables.
$\mathcal{C}^k(J,\R)$ le sous-ensemble de $\mathcal{D}^k(J,\R)$ constitué des fonctions dont la $k$ -ième dérivée est continue.
$\mathcal{C}^{\infty}(J,\R)$ l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de $J$ vers $\R$ , aussi appelées fonctions lisses ou régulières.

Ces ensembles sont des algèbres sur $\R$ , et a fortiori des espaces vectoriels.

La continuité est liée aux topologies usuelles sur $J$ et sur $\R$ . Par contre, il n’est pas précisé si J est ouvert, fermé, semi-ouvert, demi-droite ou $\R$ entier. La topologie (ou éventuellement la norme) associée à ces espaces n’est pas non plus explicitée ici.

Lorsque le contexte est clair, l’« argument » $\R$ est ignoré dans la notation, et il en va parfois de même du domaine de définition (c’est habituellement le cas lorsque $J = \R$ ).

Puisque la « dérivabilité » implique la « continuité », ces ensembles satisfont la suite d'inclusions :

$\mathcal{C}^0(J) \supset \mathcal{D}^1(J) \supset \mathcal{C}^1(J) \supset \mathcal{D}^2(J) \supset \mathcal{C}^2(J) \supset \cdots \supset \mathcal{D}^k(J) \supset \mathcal{C}^k(J) \supset \cdots \supset \mathcal{C}^{\infty}(J).$

Deux autres catégories sont couramment évoquées :

$\mathcal{C}_I^0(J)$ l’ensemble des fonctions continues par morceaux,
$\mathcal{C}_I^k(J)$ (avec $k \geq 1$ ) le sous-ensemble de $\mathcal{D}^k(J)$ constitué des fonctions dont la $k$ -ième dérivée est continue par morceaux,
$\mathcal{C}_0^k(J)$ le sous-ensemble de $\mathcal{C}^k(J)$ constitué des fonctions dont le support est compact dans un ouvert contenu dans $J$ ,
$\mathcal{C}_0^{\infty}(J)$ le sous-ensemble de $\mathcal{C}^{\infty}(J)$ constitué des fonctions dont le support est compact dans un ouvert contenu dans $J$ .

Ils satisfont les inclusions suivantes :

$\mathcal{D}^k(J) \supset \mathcal{C}_I^k(J) \supset \mathcal{C}^k(J) \supset \mathcal{C}_0^k(J).$

Domaine en dimension n > 1

Soit $\Omega \subset \R^n$ un ouvert borné, de frontière $\partial \Omega$ et d’adhérence $\overline{\Omega}$ .

Pour simplifier, supposons que $Ω$ soit un domaine « régulier » ; par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence soit valable pour toute fonction suffisamment lisse sur $\R^n$ .

Dans ce cadre, les définitions précédentes conservent leur validité en substituant $J$ par $\overline{\Omega}$ .

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Domaine en dimension n = 1

Domaine en dimension n > 1

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